零集合 カントール集合 十進法

質問

三進法では、０と１と２の３種類の文字がありますが、整数部分が０で、小数点以下の部分を、そのうちの２種類の文字をつかって、例えば、２を選ばずに、０と１だけを選んだとすれば、0.01101000110...のようなもの全体の集合は、測度がゼロになる。特に、これをカントール集合と呼ぶ、ということが、志賀浩二さんの本の中にありました。

それでは、十進法で、０～９の十種類の文字が使われていますが、例えば、整数部分が０で、小数点以下の部分を、例えば、０だけ使わないような集合、例えば、３と５だけ使わないような集合、例えば、２と４と８だけ使わないような集合は、測度がゼロになるのでしょうか？

十進法でも、２種類の文字だけであるとすれば、零集合になるということは、ある程度、予想できます。なぜなら、十進法は、三進法より、密度が小さいと感じるからです。それでは、文字が何種類くらいあれば、零集合にならないのか、ということを考えるようになりました。私の予想では、あるｎ進法の文字のうち、一種類の文字でも少なくなってしまうと、零集合になると思っています。例えば、平面は体積がゼロであるというように。

でも、ひょっとすると、十進法ならば、７文字だけしか使われていなくても、零集合にはならない、という可能性もあります。どなたか、教えていただけないでしょうか。私は、あまり、数学が得意ではないので、なるべく、わかりやすく教えてください。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

十進法でも、１種類の文字を使わない（９種類だけ使う）集合は零集合になります。

この場合の測度とは簡単にいうと長さです。
なぜ、三進法で２種類の文字だけで小数点以下の集合を作ると測度がゼロになるのか。

例えば、三進法で小数点以下が２桁までの数で考えてみます。
この場合、次の９種類の数があります。
0.00, 0.01, 0.02, 0.10, 0.11, 0.12, 0.20, 0.21, 0.22
このうち、0と1だけ使っているのは４個あるので、
測度は4/9と考えることができます。
小数点以下が３桁までの場合は、速度は8/27、
小数点以下が４桁までの場合は、速度は16/81、
小数点以下がｋ桁までの場合は、測度は(2/3)^kとなります。
小数点以下は無限にあるので、k→∞とすると測度は０になります。（∵ 2/3＜1）

十進法の場合も同じ論理で説明できます。

お礼

早速の回答ありがとうございます。

十進法の場合は、

(9/10)^k　(k→∞)　= 0

ということでしょうかね。

とてもわかりやすい説明でした。

補足

三進法で、小数点以下の一部が連続している数があります。

...00...
...11...
...22...

このような数を除く集合も、長さゼロになると思っています。

でも、本当に、長さがゼロになるでしょうか。

ご意見、お願いします。