高さ l ｃｏｓ θ は なぜ？

質問

はじめまして。
物理学中でよくわからないなと思っていたんですが、
まず、例をあげます
「半径r、密度ρ、長さｌの液柱が角度θで傾いている底面の圧力は？」っていう問題があったとします。

P = F / A より、

F = ρ πr（二乗）l cos θってなりますよね？

この 「l cos θ」ってのが何でかよくわからないんです。高さなんだなってのはわかるんですけど・・・・

回答No.1

shiga_3 · ベストアンサー

これは「l cos θ」で分けるのではなくて、
F = ρ・（πr^2・l）・cos θ
となるのだと思います。この「πr^2・l」は液柱の体積になります。
そして密度に体積を掛けたρ・（πr^2・l）が液柱が垂直に立っている時に底面にかかる力であり、それにcos θを掛けた値が、角度θ傾けた時の鉛直方向成分となります。

お礼

ありがとうございます。では、もし sin θになるとしたらどんな条件のときなのでしょうか？

回答No.4

shiga_3

＃1ですが
hornisseさんは回答に書いてある内容を自分で考えた上で、次の質問をしていますか。参考URLは開いてみられましたか。回答に対する検討の見られないままの次の質問は回答者にとって不愉快です。

長くなったので分かりにくくなっているかも知れませんので、これまでの話の流れをもう一度たどると

(1)「l cos θ」がわからない
　　↓
(2) 式は「l cos θ」で分けるのではなく、鉛直方向の力「ρ・（πr^2・l）」に「cos θ」を掛けた値が、底面に対して垂直方向の力成分である、という意味
　　↓
(3) sin θになるとしたらどんな条件のとき？
　　Vx=Vゼロcosθはx方向の成分では?
　　cosθの意味がよくわからない
　　↓
(4) それは[No.3 図1]の場合であり、[No.3 図2]のようにθを考えた場合は、斜面に垂直方向（Y方向）の成分D は C・cosθとなります
　　↓
(5)[No.3 図1]ではなく、[No.4 お礼欄の図]だった
　　もう一度説明してほしい

ということになります。

つまり、(3)で「Vx=Vゼロcosθはx方向の成分」ということがお分かりのようだったので、私は(4)で、それはθの取り方の違いで、θを[No.3 図2]のように取るとcosθを掛けたものがY方向の成分になりますよ、という説明をしたのです。

ですから、(5)でhornisseさんがθの取り方が違っていたというのならば、「Vx=Vゼロcosθはx方向の成分」というのも当然間違いになるので、そこで私が(4)でD = C・cosθと書いていることについて、なぜそうなるかを考えてみて欲しかったのです。

そういうわけで、私からの回答は今回で最後とさせていただきます。

最後に一つだけ回答・補足しておきます。「鉛直線から角度θだけ傾いた」というのは[No.4 お礼欄の図]という考え方で結構です。それは[No.3 図2]で言えば、力Fと力Aのなす角がθということです。その場合になぜD = C・cosθ、B = C・sinθ となるかは、ご自分で考えてみて下さい。三角関数が不確かなのであれば、先程２つめに紹介したページの「三角関数の覚え方」などを見て、sinとcosそれぞれの場合の角度と辺の関係を再確認して下さい。

回答No.3

shiga_3

＃1です。
>速度成分の分解でVx=Vゼロcosθはx方向の成分でした。
それはX-Y座標の原点からVというベクトルが出ていて、そのベクトルとX軸のなす角がθの場合の話ですね。下の図を図１とします。
　　Y
　　↑　　　　　
Vy │・・・・┐V0
　　│　　　／・
　　│　　／　・
　　│　／　　・
　　│／θ　　・
　─┼─────→ X
　　│　　　　Vx

とりあえず下記ページの最初の図を見て下さい。それを図２とします。
http://www.e-t.ed.jp/edotori4491/tikasyam.htm

私は図２の斜面にある四角い物体をメスシリンダーのような水の入った液柱に置き換えたものをイメージしました。見えにくいでしょうが、斜面に垂直上方に働く力がA、あとは反時計回りにB～F、それから斜面の傾斜角がθとなっています。
この場合、Cという力は斜面に垂直方向（Y方向）のDと水平方向（X方向）のBに分解されています。この時
　D = C・cosθ
　B = C・sinθ
になるのは分かりますか。図１のX-Y座標を回転させてX軸とB、Y軸とDを合わせると、θで示しているものが、図１ではX軸からの角度、図２ではY軸からの角度、という風に違うのが分かると思います。

もしそれでなぜsinθがcosθに変わるのか分からなければ、お手持ちの参考書か、三角関数に関するサイトを参考にして下さい。
http://www.dt.takuma-ct.ac.jp/~sawada/math/danwa1html/node4.html

「Vx=V0cosθ」という式は図１のような場合だと覚えておいて、あとはその問題に応じて作図して考えた方がいいですよ。

参考URL：

http://www.e-t.ed.jp/edotori4491/tikasyam.htm,http://www.dt.takuma-ct.ac.jp/~sawada/math/danwa1html/node4.html

お礼

毎回ありがとうございます。

まず、根本的な間違いをしていました。
これは、「鉛直線から角度θだけ傾いた」となっておりますから、
　　Y
　　↑　　　　　
Vy │ ・・・・ ┐V0
　　│　　 　 ／・
　　│ 　 　／　・
　　│θ ／　　・
　　│／ 　　 ・
　─┼─────→ X
　　│　　　　Vx

ってことですよね？
説明が変わってきてしまうと思いますが、もうちょっとでわかりそうなんです。
よろしくお願いします

回答No.2

shiga_3

＃1です。
先程の文章に誤りがありました。最後の部分の
>それにcos θを掛けた値が、傾けた時の鉛直方向成分となります。
は、
それにcos θを掛けた値が、傾けた時の「底面に対して垂直方向の成分」となります。
の間違いです。

>もし sin θになるとしたらどんな条件のときなのでしょうか？
ちょっと意味が分かりづらいのですが、

ρ・（πr^2・l）・cos θ（底面に対して垂直方向の成分）に対してρ・（πr^2・l）・sin θは何を表しているのか

という御質問であれば、「底面に対して水平方向の成分」を表します。鉛直方向の力ρ・（πr^2・l）を、底面に垂直・水平の２方向に分解した図を書いてみられれば分かると思います。
またもし、

F = ρ・（πr^2・l）・cos θ（底面に対して垂直方向の成分）
= ρ・（πr^2・l）・sin θ（底面に対して水平方向の成分）になるのはどのような場合か

ということであれば、cos θ = sin θ = 1/√2 となる θ = 45°の時ということになります。

お礼

ありがとうございます。
ですが、「底面に対して垂直方向の成分」がイメージがわきません。
速度成分の分解でVx=Vゼロcosθはx方向の成分でした。
shiga3さまの話で言うと「底面に対して水平方向の成分」となると思うんですが.....

ここってペイントとかで画像送ってもらったりできないんですよねぇ。
困った。式中のcosθの意味がよくわかってないようです。

理解力がなく申し訳ございません