広義重積分の計算方法と注意点
- 広義重積分の計算方法について、具体的な手順と注意点を解説します。
- 広義重積分の計算は、領域Dと関数f(x,y)を定め、重積分Vを求めることです。
- 広義重積分の計算では、不連続点が存在する場合、注意が必要です。原点で不連続になる場合は、limitを取る必要があります。
- ベストアンサー
広義重積分の計算
広義重積分の計算 領域D = {(x,y)|0≦x≦y≦1}における関数、f(x,y) = x / ((x^2 + y^2)^1/2) の広義の重積分Vを求めよ。 という問題です。 原点で不連続になることが分かります。 解答には、lim{c→+0} ∫{c→1} ∫{0→y} f(x,y) dx dy と載っていました。 自分は先にyで積分した方法で解こうとしたのですが、以下で正しいでしょうか？ lim{x→+0} ∫{0→1} ∫{x→1} f(x,y) dy dx xとyの両方が0の時に不連続になるので、x方向とy方向の両方を0に近づけたlimitを取らなければならないのではないかという疑問もあります。 そこのところがよく分かりませんので、よろしくお願いします。
- reine1
- お礼率76% (83/109)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
f(0,y)はy=0で不連続 ↓ ∫{0→1} f(0,y) dyが定義できない ↓ ∫{x→1} f(x,y) dyはx=0で不連続 ↓ ∫{0→1} ∫{x→1} f(x,y) dy dxが定義できない ↓ lim{x→+0} ∫{0→1} ∫{x→1} f(x,y) dy dx は誤りです。
その他の回答 (1)
- muturajcp
- ベストアンサー率78% (505/644)
lim{x→+0} ∫{0→1} ∫{x→1} f(x,y) dy dx は誤りで lim{c→+0} ∫{c→1} ∫{x→1} f(x,y) dy dx が正しいです。 F(x)=∫{x→1} f(x,y) dy はx=0で不連続なので ∫{0→1} ∫{x→1} f(x,y) dy dxが定義できません t=((x^2+y^2)^{1/2}) としたとき dt/dx=x(x^2+y^2)^{-1/2}=f(x,y) dt/dy=y(x^2+y^2)^{-1/2} となるので、 先にxで積分したほうがよい。 ∫{0→y}f(x,y)dx=∫{y→y√2}dt=y(√2-1) ∫{c→1}y(√2-1)dy=(1-c^2)(√2-1)/2 V=lim{c→+0}(1-c^2)(√2-1)/2=(√2-1)/2
関連するQ&A
- 広義積分可能についてです。
f(x)は(a，b)で連続とします。 このとき(a，b)で広義積分可能かということを考えるときは a＜c＜bとなるすべてのcに対して lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dxと lim(→0)∫(c～b-ε)f(x)dx を考えますよね。 lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dxを考えるとき [a+ε，c]でf(x)は連続よりf(x)は有界 よって[a+ε，c]上すべてのxに対して|f(x)|≦Mとなる定数M>0が存在する よって lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dx ≦lim(→0)∫(a+ε～c)Mdx =lim(→0)M(a+ε-c) =M(a-c) となるため lim(→0)∫(a+ε～c)f(x)dx は存在する lim(→0)∫(c～b-ε)f(x)dx についても同様に考えられるため広義積分可能 この解釈は合ってるでしょうか？ 誤っている場合は解説をよろしくお願い致します。 初歩的なことで申し訳ありません…
- 締切済み
- 数学・算数
- 広義重積分の計算
広義重積分の計算 領域 D = {(x,y)|0≦x≦1-y , 0≦y≦1} に対して、 2重積分 I = ∫∫D log(x+y) dxdy を求めよ という問題が分かりません。 (x,y)=(0,0)で不連続なので、 I = lim{c→0} ∫{c→1}∫{0→1-x} log(x+y) dydx この後の積分計算がうまくいきません。 log(x)log(y)にしてやると、logの中にlogが、 log(x+y)を部分積分でそのまま積分すると、∫y/(x+y)dyのような形が出てきたりして複雑になってしまいます。 そこそこ簡単に出来る方法はないでしょうか？ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分
広義積分についてよくわからないので質問させていただきます 1.∫logx dx[0,1]のとき、0をcとおいて lim(c→+0)∫logx dx[c,1]を計算して、F(c)=c-clogc-1とおきグラフを描いてみると lim(c→+0)F(c)=－∞となるのですが、これは数学的にあっていますか？ 2.同様にして ∫1/x^2 dx[0.1]と∫1/x^2 dx[1.∞]をそれぞれ計算すると前者は∞になり後者は1になります。 しかし図で考えると面積で言えば前者は後者よりも面積1（0≦x≦1,0≦y≦1の範囲）だけ多いと考えられるので、もし後者の面積が1になるのなら前者は2になるはずですが実際は∞になります。 どうしてでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 広義積分について
大学の微分積分のテストが追試になってしまい勉強中なのですが、広義積分が良くわからなくって困ってます。どなたかコツみたいなものを教えていただけないでしょうか？（正方形領域や円領域に簡単に近似できるものはわかります。） 例えば、次のような問題がよくわかりません。 ・∬e^(y/x) dxdy D={(x,y)|0＜x≦1,0≦y≦x^2} ・f(x,y)=2(x-y)/(x+y+a)^3,(a＞0)に対して次の値を求めよ。 ∫dx∫f(x,y)dy , ∫dy∫f(x,y)dx (積分範囲はすべて0～∞) どなたか解き方のヒントでもいいのでください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分 問題
広義積分 問題 広義積分の問題について、 ∫[0→1]1/（√1-x)について、 x=1で定義されないので、lim[c→1-0]∫[0→c]1/（√1-x)dx 1-x=tとおくと、 lim[c→1-0]∫[1→1-c]-1/（√t)dt=2 としているのですが、極限値はlim[c→1]では不正解なのでしょうか？ なぜ、lim[c→1-0]としているのかわかりません・・・ また、∫[0→1]（1/x）dx についても、x=0で定義されないので、 lim[c→+0]∫[c→1]（1/x）dx=+∞ これは、真数条件（logxにおいて、x<0）を満たすために +0となっていると思います。 この認識でよいでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分の計算って？
計算がよく分からなかったので質問させていただきました。 f(x) = 1 / (x^(2/3)*(1+x^(1/3))) について (1)不定積分を計算しなさい ∫f(x)dx (2)広義積分を存在するならば計算しなさい ∫f(x)dx .....0≦x≦1 お願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 広義重積分の問題が解けません
Arctan(x/y)を第１象限の四半球（半径a）上（集合Kとする）において積分したいのですが、答えまでたどり着きません。 分かる方、教えてください。 以下、途中まで計算してみたところです。 間違ったところがあればあわせて教えていただければ幸いです。 広義積分と考えて解く。 Arctan(x/y)はK上正なので、Kに収束するある集合列｛Km｝について極限を求める。 Km={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦a^2,x≧1/m,y≧1/m}とする。 ∬Arctan(x/y)dxdy =∫(1/m～√(a^2-(1/m)^2))dy∫(1/m～√(a^2-y^2)) Arctan(x/y)dx dxの部分を積分すると（以下明らかな部分は区間省略） ∫Arctan(x/y)dx =[xArctan(x/y)-(1/2)log(1+(x/y)^2)] =√(a^2-y^2)Arctan(√(a^2-y^2)/y)-(1/2)log(a^2/y^2)-(1/m)Arctan(1/(my))-(1/2)log(1+1/(my)^2) この結果を1つずつyで積分する。 (1)∫√(a^2-y^2)Arctan(√(a^2-y^2)/y)dy (2)∫-(1/2)log(a^2/y^2)dy (3)∫-(1/m)Arctan(1/(my))dy (4)∫-(1/2)log(1+1/(my)^2)dy (2)=-∫log(a/y)dy =∫(logy-loga)dy =[ylogy-y-yloga] =略 (3)=-(1/m)∫Arctan(1/(my))dy =-(1/m)∫(π/2-Arctan(my))dy =[-(π/2m)y+myArctan(my)-(1/2m)log(1+(my)^2)] =略 (1)と(4)はまったく分かりません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
分かりました、ありがとうございます。 念のため確認なのですが、0≦y≦x≦1 より、x=0だと必然的に、y=0になるので、x=0で不連続と判断したのですよね？ つまり、y=0の時は、x=0とは限りませんから、不連続とは限らない。 以上のことより、cはx方向に動いてlimitを取らなければならないということですよね？