広義積分の計算って？

質問

計算がよく分からなかったので質問させていただきました。

f(x) = 1 / (x^(2/3)*(1+x^(1/3)))　について
(1)不定積分を計算しなさい
∫f(x)dx
(2)広義積分を存在するならば計算しなさい
∫f(x)dx .....0≦x≦1

お願いします

回答No.2

alice_38

パッと見て、三乗根が目障りなので、
z = x~(1/3) と置換して、クサイモノニフタ
を試みます。
すると、何だか上手くいって、
与式 = ∫[z=0～1] 3dz/(1+z)
となります。
あれ？ x→0 の特異性は、どこへ行ったのでしょう。
ちょっと、上手く行き過ぎですね。
実は、
x から z への変換が x=0 で微分不能なので、
x→0 の特異性は、そこに吸収されるのです。
dz = (1/3)dx/z~2 が、x＞0 でしか成立しないので、
最後の式に z=0 を代入することはできず、
あくまで、z→0 の極限をとることになります。
たまたま、log(1+z) が z=0 で連続なので、
その辺の事情が見え難くなっていたのでした。

回答No.1

info22_

(1)
f(x)=3{x^(1/3)}'/{1+x^(1/3)}なので
I=∫f(x)dx=3log{1+x^(1/3)}+C

(2)
I=∫[0→1]f(x)dx=3log{1+x^(1/3)}(x→1)-3log{1+x^(1/3)}(x→0)
=3log(2) -3log(1)=3log(2)

(以上のlogは自然対数とする。）