広義積分について

質問

広義積分 ∫1 -1 (1+x)^1/3 dx の値を求めよ。

また広義積分と定積分の違いはなんですか？

よろしくお願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

積分の範囲の書き方が間違い。その書き方では通用しません。
このカテを定積分で検索し他例にならって正しい書き方を憶えてください。

>広義積分 ∫[-1, 1] (1+x)^（1/3) dx
これは広義積分ではありません。
単なる定積分です。

∫[-1,1] (1+x)^(1/3) dx=[(3/4)(1+x)^(4/3)][-1,1]
=(3/4) 2^(4/3)=3 (2^(-2)) 2^(4/3)
=3/2^(2/3)

広義積分は
定積分の中の特殊な積分で、積分値は存在するが、積分範囲の上限または下限で、
[1] 被積分関数が未定義である定積分や
[2] 被積分関数の原始関数が不定形となる定積分
のことを特に広義積分といいます。このとき原始関数に積分の下限や上限を代入する際は
極限(limit)をとります。

広義積分の例
∫[0,1] log(x) dx=[xlog(x)-x][0,1]
=1-0*(-∞) ←　不定形
広義積分なので
=lim[x→1-0](xlog(x)-x)-lim[x→+0](xlog(x)-x)
=-1-lim[x→+0] xlog(x)
=-1-lim[x→+0] log(x)/(1/x) ←不定形なのでロピタルの定理適用
=-1-lim[x→+0] (1/x)/(-1/x^2)
=-1-lim[x→+0] (-x)
= -1　←(答)