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広義積分についての問題です。

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  • 質問No.215247
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お礼率 32% (120/368)

∫1/√(x-a)・(x-b)dxの広義積分が収束することを示し、値を求めよ。ただし、積分区間はa~bとする。
この問題ですが、どうすればいいのかわかりません。展開の仕方からよかったら教えてください。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.5
レベル10

ベストアンサー率 36% (36/98)

Siegmundさんが、
「a~b では (x-a)(x-b) < 0 ですから.ちょっと注意しないといけません.
1/√{(x-a)(x-b)} = -i/√{(x-a)(b-x)}
として,あとは ・・・」
と指摘されているとおりです。
私の計算はそれを見落としていて、π になりました。
-i 倍 の答えになるはずだから、 答えは -iπ でしょう。
私が最初に間違った答えを書いたので、お困りかと思い、追記しました。
それから、もっと詳しい解答をお望みですか?
私個人はkony0さんのもっと詳しい解説が読みたいですし、
ikecchiさん自身の答案も見たいです。
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その他の回答 (全4件)

  • 回答No.1
レベル10

ベストアンサー率 36% (36/98)

私の計算では、答えは π になりました。
私の計算では、答えは π になりました。


  • 回答No.2
レベル6

ベストアンサー率 0% (0/1)

∫1/√(x-a)・(x-b)dx=∫1/√(展開して完全平方式にする)dx =log(x-(a+b)/2+√xの2乗+A)なので ただしAは定数部分です。 ∫1/√xの2乗+Adx=log絶対値(x+√xの2乗+A)を利用しました。 これを範囲をa+1/n~bのときとa~b-1/nのときに分けてそれぞれnを無限大に したときの極限値が一致することを示せば出来ますよ。 分かりましたか?
∫1/√(x-a)・(x-b)dx=∫1/√(展開して完全平方式にする)dx
=log(x-(a+b)/2+√xの2乗+A)なので
ただしAは定数部分です。

∫1/√xの2乗+Adx=log絶対値(x+√xの2乗+A)を利用しました。
これを範囲をa+1/n~bのときとa~b-1/nのときに分けてそれぞれnを無限大に
したときの極限値が一致することを示せば出来ますよ。
分かりましたか?
  • 回答No.3
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

a~b では (x-a)(x-b) < 0 ですから.ちょっと注意しないといけません. 1/√{(x-a)(x-b)} = -i/√{(x-a)(b-x)} として,あとは (1)  x = a cos^2θ + b sin^2θ とおけばいいでしょう. こうおくと (2)  √{(x-a)(b-x)} = (1/2)(b-a) sin 2θ (3)  dx/dθ= (b-a) sin ...続きを読む
a~b では (x-a)(x-b) < 0 ですから.ちょっと注意しないといけません.
1/√{(x-a)(x-b)} = -i/√{(x-a)(b-x)}
として,あとは
(1)  x = a cos^2θ + b sin^2θ
とおけばいいでしょう.
こうおくと
(2)  √{(x-a)(b-x)} = (1/2)(b-a) sin 2θ
(3)  dx/dθ= (b-a) sin 2θ
ですから,もうできたも同然です.
答は -iπ のようです.
  • 回答No.4
レベル11

ベストアンサー率 36% (175/474)

まったくの蛇足です。(^^;) 積分を行うだけなら、ベータ関数に持っていくという手もあります。 つまり、x:a→bのとき、y:0→1となるような線形写像y=(x-a)/(b-a)を考えると、 (x-a)(x-b) = (b-a)^2 * y(y-1), dx = (b-a) dy となるので、 あとは#3のsiegmundさんのおっしゃるとおり、√の中が負になることに注意して、 (与式)=∫1/ ...続きを読む
まったくの蛇足です。(^^;)
積分を行うだけなら、ベータ関数に持っていくという手もあります。
つまり、x:a→bのとき、y:0→1となるような線形写像y=(x-a)/(b-a)を考えると、
(x-a)(x-b) = (b-a)^2 * y(y-1), dx = (b-a) dy となるので、
あとは#3のsiegmundさんのおっしゃるとおり、√の中が負になることに注意して、
(与式)=∫1/{i(b-a)√y(1-y)} (b-a)dy = -i ∫y^(-1/2) (1-y)^(-1/2) dy
= -i * B(1/2,1/2) = -i * Γ(1/2)*Γ(1/2)/Γ(1) = -i * (√π)^2 / 1 = -iπ(答)
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