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広義積分の求め方
∫1/(√sin(x))dx 区間[0,π] の広義積分が求められません。 lim a -> 0 lim b -> π として√sin(x)をtとして置換積分してやろうとしたのですが いまいちそのあとの積分区間がわからなくなったりして 解き方がわかりません。教えてください。
- jon-td-deen
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この積分は解析的には求められません。 高校の数学の範囲のレベルを超えます。つまり積分できない（高校までに習った関数を使っては表せない）ということです。 収束しますので数値積分なら可能でしょう。 大学の数学レベルでなら、積分結果は、第一種完全楕円関数K(x)を使って求められます。↓参照。 http://reference.wolfram.com/mathematica/tutorial/EllipticIntegralsAndEllipticFunctions.ja.html 積分結果は (2√2)*K(1/√2)≒5.244115 となります。
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- zk43
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1/√sinxはx=π/2を中心に対称なので、 ∫(0,π)1/(√sin(x))dx=2∫(0,π/2)1/(√sin(x))dx sinx＞2x/πより、1/√sinx＜√(π/2)・1/√xだから収束はする。 sinx=uとおくと、2∫(0,1)1/√u(1-u^2)duになり、結局、楕円積分に 帰着しそうな感じがする。 具体的な値まで求められているのでしょうか？収束・発散の判定の 問題のような感じがしますが。
お礼
収束・発散のみ判定する問題でした。 そうか、それよりも大きな関数の収束・発散を示せばいいんですね。 ありがとうございました。
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お礼
直接はもとめられないのですね。 丁寧にありがとうございました。