広義重積分の計算方法について
- 広義重積分の計算方法について質問です。領域D={(x,y)|0≦x≦1-y, 0≦y≦1}に対して、2重積分I=∫∫D log(x+y)dxdyを求める方法を知りたいです。
- 領域D={(x,y)|0≦x≦1-y, 0≦y≦1}に対する広義重積分の計算について質問です。具体的には、2重積分I=∫∫D log(x+y)dxdyの計算方法を教えてください。
- 広義重積分の計算方法について教えてください。領域D={(x,y)|0≦x≦1-y, 0≦y≦1}に対して、2重積分I=∫∫D log(x+y)dxdyを求める方法が分かりません。どのように計算すればよいでしょうか?
- ベストアンサー
広義重積分の計算
広義重積分の計算 領域 D = {(x,y)|0≦x≦1-y , 0≦y≦1} に対して、 2重積分 I = ∫∫D log(x+y) dxdy を求めよ という問題が分かりません。 (x,y)=(0,0)で不連続なので、 I = lim{c→0} ∫{c→1}∫{0→1-x} log(x+y) dydx この後の積分計算がうまくいきません。 log(x)log(y)にしてやると、logの中にlogが、 log(x+y)を部分積分でそのまま積分すると、∫y/(x+y)dyのような形が出てきたりして複雑になってしまいます。 そこそこ簡単に出来る方法はないでしょうか? よろしくお願いします。
- reine1
- お礼率76% (83/109)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数6
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
とりあえず 1点: 「log(x+y)を部分積分でそのまま積分する」ときに, 「∫y/(x+y)dyのような形」を残さなければいい. log x の原始関数は x log x - x だから, この x を x+y で置き換えれば不定積分はわかるはず.
その他の回答 (1)
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
I=∫[0,1]dy∫[0,1-y]log(x+y)dx =∫[0,1]dy[(x+y)log(x+y)-(x+y)][x:0,1-y] =∫[0,1] {-ylog(y)+y-1}dy =lim[a->+0] [-(1/2)(y^2)log(y)+(3/4)y^2-y][a,1] =(3/4)-1+lim[a->+0](1/2)(a^2)log(a) =-(1/4)+(1/2)lim[a->+0]log(a)/a^(-2) =-(1/4)+(1/2)lim[a->+0] a^(-1)/{(-2)a^(-3)} =-(1/4)-(1/4)lim[a->+0]a^2 =-(1/4)
お礼
解けました、ありがとうございます。
関連するQ&A
- 広義重積分の計算
広義重積分の計算 領域D = {(x,y)|0≦x≦y≦1}における関数、f(x,y) = x / ((x^2 + y^2)^1/2) の広義の重積分Vを求めよ。 という問題です。 原点で不連続になることが分かります。 解答には、lim{c→+0} ∫{c→1} ∫{0→y} f(x,y) dx dy と載っていました。 自分は先にyで積分した方法で解こうとしたのですが、以下で正しいでしょうか? lim{x→+0} ∫{0→1} ∫{x→1} f(x,y) dy dx xとyの両方が0の時に不連続になるので、x方向とy方向の両方を0に近づけたlimitを取らなければならないのではないかという疑問もあります。 そこのところがよく分かりませんので、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義二重積分の問題です。教えてください
広義二重積分の問題です。教えてください、よろしくお願いします。 次の広義積分を求めよ。 問1、∫∫D 1/(1+x^2+y^2)^a/2 dxdy,D={(x,y):y≧0} 問2、∫∫D log(x^2+y^2) dxdy,D={(x,y):0<x^2+y^2≦1}
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分・2重積分について
(1)∫(0→3)1/(√x-1の3乗根)dxの解法を教えてください。 (2)2重積分のdxdyとdydxとでは何がどう違うのですか。dx、dyの順番は関係あるのでしょうか。ご教示をお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 以下の二重広義積分の計算が分かりません。どなたかご教授の方をお願いします。
∬[D] y/(1+y^2)(1+xy)^2 dxdy D={(x,y)|0≦x≦y,xy≦1} として広義二重積分を計算せよ。 というような問題なのですがどのようにして解けばよいのかという方向性が見えないのでご教授の方をお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 広義積分の計算なんですがどなたか頼みます。
広義積分の計算なんですがどなたか頼みます。 E={(x,y):(x^2)+(y^2)≦e^2、-x≦y≦x、0≦x} ∬[E]log[√((x^2)+(y^2))]dxdyを求めよ。 よろしくお願いいたします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分について
大学の微分積分のテストが追試になってしまい勉強中なのですが、広義積分が良くわからなくって困ってます。どなたかコツみたいなものを教えていただけないでしょうか?(正方形領域や円領域に簡単に近似できるものはわかります。) 例えば、次のような問題がよくわかりません。 ・∬e^(y/x) dxdy D={(x,y)|0<x≦1,0≦y≦x^2} ・f(x,y)=2(x-y)/(x+y+a)^3,(a>0)に対して次の値を求めよ。 ∫dx∫f(x,y)dy , ∫dy∫f(x,y)dx (積分範囲はすべて0~∞) どなたか解き方のヒントでもいいのでください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
logxの原始関数の公式にそのまま代入して良かったんですね。 分かりました、ありがとうございます。