広義積分について

質問

大学の微分積分のテストが追試になってしまい勉強中なのですが、広義積分が良くわからなくって困ってます。どなたかコツみたいなものを教えていただけないでしょうか？（正方形領域や円領域に簡単に近似できるものはわかります。）

例えば、次のような問題がよくわかりません。

・∬e^(y/x) dxdy D={(x,y)|0＜x≦1,0≦y≦x^2}

・f(x,y)=2(x-y)/(x+y+a)^3,(a＞0)に対して次の値を求めよ。
∫dx∫f(x,y)dy , ∫dy∫f(x,y)dx (積分範囲はすべて0～∞)

どなたか解き方のヒントでもいいのでください。よろしくお願いします。

回答No.1

mazimekko3 · ベストアンサー

広義積分は非定義領域や特異点を含む積分です。
その特異点を記号αやβに置き換えて積分し、最後にlimをとることで
広義的な積分を求めるのです。

∬e^(y/x) dxdy D={(x,y)|0＜x≦1,0≦y≦x^2}
積分範囲の置き換えは分かっているのでしょう。
積分範囲が0＜x≦1ですのでx=0を含みませんが、
（x=0はy/xを含むため特異点となる）
積分では区別できませんのでこの0をαとおきます。
そうするとこの問題は
lim[α→+0]∬e^(y/x)dxdy D={(x,y)|α≦x≦1,0≦y≦x^2}
となります。
後は普通の重積分ができて、極限が求められるかどうかです。

∫dx∫f(x,y)dy , ∫dy∫f(x,y)dx
これ数式あってますか？

補足

早速回答していただいて、本当にありがとうございます。

すみません。一問目の積分範囲の置き換えがうまくいきません。x^2を何かに置き換えてみたり、極座標変換も試してみたのですけど。。

二問目も説明不足でした。すみません。
答えを見てみると、
∫dx∫f(x,y)dy = 1
∫dy∫f(x,y)dx = -1
(積分範囲はすべて0～∞)
となっていて、広義積分可能ではないことを証明したいです。

回答No.2

mazimekko3

∬e^(y/x) dxdy D={(x,y)|α≦x≦1,0≦y≦x^2}
この式のdxdyは順序関係ないですのでdydxとして累次積分してください。
∫[x:α→1]∫[y:0→x^2]e^(y/x) dydx
で普通に計算できますよ。変換も必要ないはずですが。
最後にαを+0に収束させてください。

∫dx∫f(x,y)dy
これは「f(x,y)をyで積分したものに∫dxを掛ける」と解釈するのでは？
最後まで計算した値を定積分の定義に従ってx:0→∞,y:0→∞で計算するのでしょうが
「xとyの関係が定まっていない」ですね。
x=yなら結果は1に収束しますが、「x=2yなら？」と考えるのです。
（別に関係を考えるだけなら何も問題ありません）
収束値が異なるので「広義積分不能」となるのでしょう。

∫dy∫f(x,y)dxも同じように計算できると思います。

お礼

ありがとうございます！早速解いてみようと思います。