nを２以上の自然数とし、Sn＝１+１/２+１/３+…+１/nとおく。

質問

nを２以上の自然数とし、Sn＝１+１/２+１/３+…+１/nとおく。
Snが整数でないことを示せ。
ヒントは2のk乗≦nを満たす最大の自然数kを利用せよ。
よろしくお願いします。
明日までの宿題で困ってます！！！

回答No.4

muturajcp

n∈N=(全自然数)
n≧2　
Sn=Σ_{i=1～n}(1/i)
k=max{k∈N| 2^k≦n}とすると
2≦n　だから　1≦k
1～n の最小公倍数を LCM(1～n)　とすると
LCM(1～n)=b*2^k
b は 2 の倍数でない

b*2^k*Sn-Σ_{i=1～n,i≠2^k}b*2^k/i=b

Snを整数と仮定すると b*2^k*Sn　は 2の倍数

i≠2^k　に対して　i=j*2^k となる　j≧1 があると仮定すると
j=1 ならば　i=2^k≠i　で矛盾だから　j≧2
n≧i=j*2^k≧2^{k+1}>n で矛盾だから
iは　2^k　の倍数でないから
b*2^k/i　は　2の倍数
左辺b*2^k*Sn-Σ_{i=1～n,i≠2^k}b*2^k/i は2の倍数

右辺 bは 2の倍数でないから矛盾するから
Snは整数でない

回答No.3

Tacosan

ああ, チェビチェフの定理が面倒か.
そのヒントの k を使って「n 以下の, 2^k 以外の全ての自然数の最小公倍数」をもってくればいいんだな.

回答No.2

ICE_FALCON

有名な問題ですね。
調和級数で検索すると答えが出てくるのでは？

分母を 2のk乗*奇数 にそろえれば解けやすいかな？

回答No.1

Tacosan

う～ん, それでもいいけど「n 以下の最大の素数」を持ち出せばもっと簡単な気がする.
p を n 以下の最大の素数とすると, チェビシェフの定理より p ≦ n < 2p だからどうやっても分母の p を相殺できない.