Sn＝1＋2＋3＋…＋n

質問

Sn＝1＋2＋3＋…＋n
とは
n＝2k（k＝1、2、… ）
としたら
もとは一般項がnだから
S2k＝2＋4＋…＋2k
ですか？それとも単に2k項目までという意味で
S2k＝2Sn
ですか？
よくわからなくなりました…

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

＞ということはある数列｛An｝の、偶数番目だけの和という意味で
＞S（2k） （k＝1、2、…）とするのは、誤りだということですか？
そうですね。

いまの問題であれば、
・一般項：a(n)＝ nという数列に対して、偶数番目だけの和を考えるのであれば、
・偶数番目だけの数列：b(n)＝ 2nという数列を考えて、
・b(n)の和を計算する。

ということになります。

お礼

分かりました。出来なかった問題が解けました、有難うございました。

回答No.3

Knotopolog

S(n)＝1＋2＋3＋…＋n　と書くことにします．すると，
S(2k)＝1＋2＋3＋…＋2k,　（k＝1、2、… ）のことです．

k＝1　のとき，S(2)＝1＋2＝3
k＝2　のとき，S(4)＝1＋2＋3＋4＝10
k＝3　のとき，S(6)＝1＋2＋3＋4＋5＋6＝21
・・・・・・・・・・・・・
k＝k　のとき，S(2k)＝1＋2＋3＋…＋2k＝[2k(2k＋1)]/2＝k(2k＋1)
　　　　　S(2k)＝k(2k＋1)
となります．

S(n)＝1＋2＋3＋…＋n　に対して，n＝2k（k＝1、2、… ）とするのは，
最終項が偶数の場合の自然数列の和をとるということを，新しく定義したのですから
S(2k)＝k(2k＋1) となり，これ意外にはありません．

お礼

有難うございます。イメージがつかめました。

回答No.1

naniwacchi

おはようございます。

表現の仕方で混乱されていると思います。

S(n)（括弧付きで表すことにします）は、初項から第 n項までの和のことですから、
S(n)＝ a(1)＋ a(2)＋ a(3)+ ・・・+ a(n)

となりますね。
n＝ 2kということは、「S(n)の nが 2kだ」ということですから
S(2k)＝ a(1)＋ a(2)＋ a(3)+ ・・・+ a(2k)

というだけのことです。
つまり、「和をとる最終項のこと」だけであって「一般項のこと」ではありません。

いまの問題で、シグマ記号を用いてみると、
S(n)＝ 1+ 2+ 3+ ・・・+ n＝ Σ[i＝1～n] { i }
S(2n)＝ 1+ 2+ 3+ ・・・+ 2n＝ Σ[i＝1～2n] { i }

そして 2+ 4+ …+ 2kを考えると、これは「一般項が a(n)＝ 2n」となるので
T(k)＝ 2+ 4+ …+ 2k＝ Σ[i＝1～k] { 2i }

となります。
いまは考えている数列が等差数列なので T(n)＝ 2* S(n)といった関係が成り立ちますが、
一般にはこのような関係は成り立ちません。（等比数列で考えてみればわかると思います）

単に「第 n項（一般項）」を表しているのか、「第 n項までの和」を表しているのかをきちんと区別できるようにしないといけませんね。＾＾

補足

おはようございます。
補足ですが、
ということはある数列｛An｝の、偶数番目だけの和という意味で
S（2k） （k＝1、2、…）とするのは、誤りだということですか？つまり、これだと
nが偶数のときにおけるS2nを表しているわけですか？