- 締切済み
自然数
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
みんなの回答
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
「k は全ての自然数」が、 不自然で、謎ですね。 k が任意の自然数だというなら、 No.2 のとおりで、簡潔な話。 全ての自然数について総和したら、 自然数でなく ∞ になりますが…？
関連するQ&A
- 自然数 ０×∞
より簡単となるように、話を自然数だけに限定しました。 以下において、数はすべて自然数（０を含む）とします。 まず、等号 = を帰納的に定義します。 0 = 0 a = b ならば a + 1 = b + 1 これによって、 2 + 3 = 5 なども導けると思います。 このことは、自然数と加法を、たとえば 0 は {} a + 1 は a ∪ {a} という集合とその操作と考えた場合、等号は両辺の集合が等しいことを意味します。 ただし、1 以外の加法は、結合法則が成立するように a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c で定義します。 加法を無限回行った結果は一つしか存在しないので 1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1 = ∞ と表します。 乗法は a × b = Σ[k=1,b]a で定義します。ただし、b = 0 ならば a × 0 = 0 とします。 以上の定義に従って計算する時、 質問１：この式は正しいですか？ 1 + Σ[k=2,∞]1 = 1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1 あるいは ∞ を使って 1 + ∞ = ∞ 質問２：この式は正しいですか？ 0 × Σ[k=1,∞]1 = 0 あるいは ∞ を使って 0 × ∞ = 0 なお、∞ という記号に、ある加算結果を表す以上の意味はありません。 等号以外の自然数や演算の定義は、通常と同じにしたつもりです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 条件を満たす自然数
この前質問して解決したと思ったのですが、疑問に思うことができてしまったのでもう一度質問します。 nを自然数とするとき、数列an=(3^n+5^n)/2^nとおく。 この時、nが偶数ならanは自然数でないことを示し、anが自然数となるｎをすべて求めよ。 そこで an = (9^k+25^k)/4^k = ((2x4+1)^k+(6x4+1)^k)/4~k ここで分子は4の倍数 + 2と 表す事ができるので, an= ( 4xl+2)/4^k (lは 自然数) となる。 ところでこれは分母が4の倍数であるが、分子が4の倍数+2であるため割り切れない。 したがって anは自然数でない。 との回答を頂き、これには納得しました。 ところが、その次の nが奇数であれば n=2k+1(K=0,1,2,3,,)と表すことができる。 すると与式は an= ((3x(2*4+1)^k+5x(6:4+1)^k)/2/4^k となる。 これはまた an= (4l+8)/2/4^k (ｌは自然数) と書く事ができる。 これが 自然数になるためには K=0,1のときのみである したがって anが自然数となる nは n= 1,3 のみである 。 n=1 an= 4 n=3 an=19 とできることが疑問です。 よく考えてみると、l=6,k=2やl=30,k=3でもan= (4l+8)/2/4^kは自然数となりますし・・・ かといって、そんな場合はないとの証明もできません。 分かる方、回答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の自然数の２乗和
数学Bの数列の範囲で 自然数の２乗の和は1/6n(n+1)(2n+1)で求められるとなっていて それの証明が 恒等式k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1でkに1からnまでを順々に代入して求めたn個の等式の両辺を加えるというものでした たしかにこれで1/6n(n+1)(2n+1)は求められたのですが なぜいきなり恒等式k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1が出てきたのか分かりません なにか他に違う求め方とかあるのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 24にできるだけ小さい自然数をかけて2乗の数にした
24にできるだけ小さい自然数をかけて2乗の数にしたい。その自然数を求めなさい。 ↑これの解説を教えてください。ちなみに答えは6です。
- 締切済み
- 数学・算数
- 自然数 ０×∞ 集合を使って
さらに修正しました。 以下において、数はすべて自然数（０を含む）とします。 自然数とその加法を 0 = {} a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a} という集合と写像だと考えます。 等号は、同じ集合（要素がすべて同じこと）を表します。 1 以外の加法は、結合法則が成立するように a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c によって定義します。 自然数を具体的に示せば 0 = {} 1 = {{}} = {0} 2 = {{},{{}}} = {0,1} 3 = {{},{{}},{{},{{}}}} = {0,1,2} などになります。 等号には、次の性質が存在します。 0 = 0 a = b ならば a + 1 = b + 1 これと結合法則から 2 + 3 = 5 なども導けると思います。 加法を無限回行うことは a + a + a + ... = Σ[k=1,∞]a などと表し、特に a = 1 を 1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1 = ∞ と表します。 これを無限公理（を若干修正した） ∃A (∀x∈a (x∈A) ∧ ∀y∈A (y∪{y}∈A)) を満足する最小の集合と定義します。 ∞ を具体的に示せば ∞ = {0,1,2,...} になります。 a = ∞ であれば、無限公理を満足する最小の集合はそれ自身であり ∞ + ∞ = ∞ となります。 乗法は a × b = Σ[k=1,b]a で定義します。ただし、b = 0 ならば a × 0 = 0 とします。 以上の定義に従って計算する時、 質問１：この式は正しいですか？ 1 + Σ[k=1,∞]1 = 1 + 1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1 Σ[k=1,∞]1 + 1 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = Σ[k=1,∞]1 あるいは ∞ を使って 1 + ∞ = ∞ + 1 = ∞ 質問２：この式は正しいですか？ 0 × Σ[k=1,∞]1 = 0 あるいは ∞ を使って 0 × ∞ = 0 なお、∞ という記号に、ある集合を表す以上の意味はありません。 「加法を無限回行う」ことも、定義した演算のことです。 ただし、a ∈ b という関係を a < b で表すと 0 < 1 < 2 < ... < ∞ なので、自然数よりも大きな数と考えることができます。
- 締切済み
- 数学・算数
- 自然数は、減法について閉じているか？
まず私が理解していることを書きます ・自然数の体系を前提として、集合{4,5,6}があるとき、 この集合は減法について閉じていません -> 例えば6-4＝2という反例があるため ・整数の体系を前提として、集合{0,1,2}があるとき、 この集合は減法について閉じていません -> 例えば0-2＝-2という反例があるため この上で、私が疑問なのは、 ・自然数の体系を前提として、集合{0,1,2}があるとき、 この集合は減法について、閉じているかどうかです (これが閉じているかどうかと、自然数が閉じているかどうかは同じ問題と考えています) 私は、この集合{0,1,2}は減法について閉じているのではないかと思うのです 根拠としては、 1.議論の前提が自然数の範囲に限定されている限り、閉じていないことの反例を示すことができません 2.集合{0,1,2}の減法に関する「全ての有効な式及び解」は、元の集合{0,1,2}内のどれかになります しかし、一般的には、閉じていないといわれています。 0-2=-2といったような、明らかに自然数の範囲を逸脱することを前提とする必要がある方法ではなく、 自然数の範囲内のみで、閉じていないことを証明することができるのでしょうか？ 教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- nを２以上の自然数とし、Sn＝１+１/２+１/３+…+１/nとおく。
nを２以上の自然数とし、Sn＝１+１/２+１/３+…+１/nとおく。 Snが整数でないことを示せ。 ヒントは2のk乗≦nを満たす最大の自然数kを利用せよ。 よろしくお願いします。 明日までの宿題で困ってます！！！
- 締切済み
- 数学・算数
