平方根を使った問題

質問

春から高校生なのですが、数学の問題で
どうしても解けない問題があるので教えてください。
　＿＿＿＿＿
√　7n+238　　　が整数となる自然数nのうち、最も小さい値は？

という問題です。解答にはn=29とありましたが、解法も詳しく載っておらず、まわりに頼れそうな人もいません。
どうかよろしくお願いします。

回答No.2

Rice-Etude · ベストアンサー

問題の値が整数になるためには、平方根の中身である7n+238が平方数(k^2)である必要から、238以上の平方数(k>=16となる整数k)で力業で解くという方法もあります。

ただ、もう少し効率よく考えると、上で書いたことから
k^2=7n+238
とおけますが、ここで右辺を見ると
7n+238=7n+7*34=7(n+34)
となります。つまりk^2は7の倍数であることから、kも7の倍数であることがわかります。よって、k>=16でかつ7の倍数となるもっとも小さい値を考えてみると、自ずと答えが導き出されます。

お礼

いろいろ考えてて遅くなってすみません。
みなさんからの意見をもとに自分なりにまとめてみました。

√に含まれている数字をk^2、k^2を整数に直した形をkとおく。
√(7a+238)は√225【k=15】よりも大きいことから、
√(7a+238)を整数に直すと16以上であることがわかる。…k≧16
次に式に表すと、
k^2=7n+238　　　　
k^2=7(n+34)
右辺に7があって、kは7の倍数であることが分かる。

つまりkは16以上の7の倍数。
nが最小の自然数をとるのでkも最小の数をとる。　∴k=21

k=21をk^2=7n+238に当てはめると
441=7n+238
7n=203
n=29

3件の素早い解答ありがとうございました。
3件全てが良回答でしたが、今回はRice-Etudeさんにしたいと思います。本当にありがとうございました。

回答No.3

htms42

どういうところまで考えましたか。
何を手掛かりにすればいいのかと考えましたか。
答えに行きつくのは一本道ではありません。試行錯誤が必要です。スマートな方法でなくてもいいですからとにかく手探りでいろいろ試みてみることです。
回答が２９であるということですがその数字を入れて計算してみましたか。２９以外でもルートが外れる数字があるはずですね。見つかりましたか。

数学は模範解答を覚えることというイメージがかなりいきわたっているようです。「数学は暗記モノだ」と言い切る予備校の先生もいると聞きます。
覚えるための材料の解答を書こうという気持ちにはなれません。

√が整数になるというのはルートが外れると言っていることと同じ内容です。
７ｎ＋２３８＝(？)^2
の形になるということです。
２３８は７で割れます。
７ｎ＋２３８＝７×(ｎ＋３４)
　　　　　　＝７×７×Ａ×Ａ
です。
ｎ＋３４＝７×Ａ×Ａ
ｎ＝１で左辺は３５です。Ａは３以上であることがわかります。
ここまでくれば　Ａ＝３，４，５，・・・と調べればｎは分かります。

この程度のことなら質問などしないで自分で考えたほうがよかったという気持ちになりませんか。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

まずは、以下のことを考えてみてください。

・√ の中がどのような数になればいいか、わかりますか？
√9＝ 3、√100＝ 10というようになるときの共通点をみつけてください。

・√(7n+238)は、√238よりも大きいはずです。
√238＞ √225＝ 15であることを使うと、√(7n+238)≧ 16となります。

計算してみてわからないところがあったら、補足してください。