平方根の問題の解説をしてくださいませんか

質問

中３です。
数学の問題でわからないものがあるので、
解説をお願いします。

＜問題 １＞※大分県の平成23年度の入試問題
√（２０００－５０ｎ）の値が整数となるような自然数ｎのうち、もっとも小さいものを求めよ。
　※ルート（√）の中に「２０００－５０ｎ」が入っています。
[解答]
　８

＜問題 ２＞※秋田県の平成23年度の入試問題
a、b、cは連続する３つの奇数で、
０＜a＜b＜c＜１００ である。
√（a+b+c）が正の整数となるaのうち、
もっとも大きなものを求めなさい。
　※３行目、ルート（√）の中に「a+b+c」が入っています。
[解答]
　７３

これらの答えはどうやって求めるのか
よくわからないので教えてください。
どちらかの問題だけの回答でもうれしいので、
ご回答よろしくお願いします。

回答No.2

ferien

＞＜問題 １＞※大分県の平成23年度の入試問題
＞√（２０００－５０ｎ）の値が整数となるような自然数ｎのうち、もっとも小さいものを求めよ。
２０００から５０ずつ数を減らしていって、１９５０，１９００，１８５０，……
２０００－５０ｎ＝（ある数）^2になる場合を捜すと、
１６００＝４^2×１０^2＝（４×１０）^2＝４０^2が見つかるから、
２０００－５０ｎ＝１６００より、５０ｎ＝４００から、ｎ＝８

＞＜問題 ２＞※秋田県の平成23年度の入試問題
＞a、b、cは連続する３つの奇数で、
だから、ｂ＝ａ＋２，ｃ＝ａ＋４
＞０＜a＜b＜c＜１００ である。
＞√（a+b+c）が正の整数となるaのうち、
＞もっとも大きなものを求めなさい。
ａ＋ｂ＋ｃ＝ａ＋（ａ＋２）＋（ａ＋４）＝３ａ＋６＝（ある数）^2　で、
ａ，ｂ，ｃが１００を越えない正の整数だから、（ある数）^2は３００を越えない。
そのようなある数を捜すと、
３ａ＋６＝２８９＝１７^2　のとき、ａ＝２８３／３　不適（割り切れない）
３ａ＋６＝２５６＝１６^2　のとき、ａ＝２５０／３　不適
３ａ＋６＝２２５＝１５^2　のとき、ａ＝２１９／３＝７３
よって、ａ＝７３

お礼

ご回答ありがとうございました。
まだ完全にはよく分かりませんでした。
なので参考にさせていただいて、
じっくり考えたいと思います。

回答No.1

suko22

＞√（２０００－５０ｎ）の値が整数となるような自然数ｎのうち、もっとも小さいものを求めよ。

√の中が（　）＾2となればルートが外れますね。

2000-50ｎ＝50（40-n）
　　　　　＝(5^2)*2*(40-n)
ここで40-ｎ＝2*m^2（ｍは自然数）が成り立てばルートが外れることがわかる。・・・※1
よってn=40-2*m^2
m=1のときn=38
m=2のときn=32
・
・
m=4のときn=8・・・答え
m=5のときn=-10　不適

＞a、b、cは連続する３つの奇数で、
＞０＜a＜b＜c＜１００ である。
＞√（a+b+c）が正の整数となるaのうち、
＞もっとも大きなものを求めなさい。

nを自然数としたとき連続する奇数を2n+1,2n+3,2n+5と表せる（a=2n+1,b=2n+3,c=2n+5にそれぞれ対応）
√の中身が2乗になる条件を考える。
a+b+c=(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)=6n+9=3(2n+3)
上式が自然数の2乗になるためには、2n+3=3*m^2（ｍは自然数）であればよい。・・・※2
n=(3*m^2-3)/2
m=1のときn=0　よってa=2*0+1=1
m=2のときn=2/3 不適
・
・
・
m=5のときn=3 よってa=2*36+1=73・・・答え
m=6のときn=105/2　不適
m=7のとき72　よってa=2*72+1=145 不適

どちらの問題も同じパターンですね。
※1、※2がポイントです。よく考えてみてください。

お礼

ご回答ありがとうございました。
すみません、まだよくわかりません・・・

参考にさせていただいて、
よく考えます。