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平方根に関する問題(高校受験レベル)なんですが。。。
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ayappeさん、こんばんは。 >「nは正の整数で√35n/2(←全部ルートの中です)は2ケタの整数になるという。このようなnをすべて求めなさい」 難しいですね! まず、√(35n/2)が2桁の整数で表される、ということですから、 10≦√(35n/2)≦99 ですね。 両辺2乗して、 100≦(35n/2)≦9801・・・(1) 200≦35n≦19602 5.714・・≦n≦560.05・・ ・・・(2) という範囲になります。 次に、 √の中が、なにかの2乗の形になっていないと、ルートは外れません。 35n/2 という数が、整数の2乗になるためには、 nは35を因数に持たなければいけません。 さらに、2で割っていますから、2もまた因数に持つわけです。 というわけで、35×2=70 を因数に持ちます⇔nは70の倍数である。 nは70の倍数ですから、 n=70a とかけたとしましょう。 すると、 √(35n/2)=√(35*70a/2)=√(35*35*a)=35√a となりますから、 aもまた、何かの2乗の形とならなければなりません。 そこで、a=b^2として、 n=70b^2とすると、 √(35n/2)=√(35*35*b*b)=35b となります。 つまり、√の中は、35^2*b^2の形でないといけません。 √の中=35^2*b^2の形=1225*b^2の形 √の中の範囲は、(1)より、 100≦1225b^2≦9801 b=1のとき、 √の中は1225 √1225=35で二桁の整数でOK このとき、35n/2=1225より、n=70 b=2のとき、 √の中は、1225×4=4900 √4900=70で二桁なのでOK。 このとき、35n/2=4900より、n=280 b≧3のときは、9801より大きくなってしまうので不適。 よって求めるnは、n=70,280となります。 これは(2)を満足しています。 頑張ってください。
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- stone_wash
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高校の入試問題ですね。 √(35n/2)=(二桁の整数)ですね。 順にやっていきましょう。 まず、√のなかを整数にします。すなわち√内の分母をなくすわけです。そのことより、 n=2α (αは整数) となります。 すると、√(35n/2)=√(35α)になりました。 では、√(35α)が整数になるのはどんなときかなって考えます。簡単ですね、√がとれれば良いのです。 よって、 α=5×7×β^2 (βは整数) となります。 これより、 √(35n/2)=√(35α)=35√(β^2)=35β ですね。 ここまでくれば、β=1とβ=2はOKで、β=3はアウトですね。数個なので代入して確認して見ましょう。 ・β=1の時⇒α=5×7×1^2⇒n=2×5×7×1=70 このとき、√(35n/2)=35 OK ・β=2の時⇒α=5×7×2^2⇒n=2×5×7×4=280 このとき、√(35n/2)=70 OK ・β=3の時⇒α=5×7×3^2⇒n=2×5×7×9=630 このとき、√(35n/2)=105 DQN したがって、 n=70、280となります。
お礼
とっても分かりやすい解説、ありがとうございます! なるほど~(゜o゜)って感じでした☆
- ririnnnohitori
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答えは、2つでしょうか? √の中を考えてみて、何より、大きくて、何より小さいかわかりますか? √の計算の約束事である、√a^2b^2c=ab√cということはわかりますか? これから、nは2(2分の一を消したいから)×35の倍数であり、560より小さいということはわかりますか? では頑張ってください
お礼
>√の計算の約束事である、√a^2b^2c=ab√cということはわかりますか? 分からないです・・・(^^; ありがとうございました☆
- yuusukekyouju
- ベストアンサー率22% (21/94)
ポイントは2つです。 (1)ある数の平方根が整数となるためには、ある数は整数の2乗となる数でなくてはなりません。 つまり35n/2がある整数の2乗でなくてはならないということです。 nは2の倍数でかつ5と7の倍数でなくてはなりません(35が5×7と素数の積で表せるので)だからnは70の倍数 (2)√35n/2が2ケタより35n/2は100(10の2乗)以上10000(100の2乗)未満です。 (1)(2)の条件よりn=70、140となります。
お礼
ありがとうございます☆ n=70はOKだったんですが、n=140を代入したら整数にならなかったです・・・(>_<)
- zetafunction
- ベストアンサー率37% (13/35)
(√40000)/2 = 200/2 = 100 (√400)/2 = 20/2 = 10 以上のことを考慮して考えてみましょう。
補足
すいません。問題にも書きましたが、数字は全部ルートの中なんです。。。
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お礼
ありがとうございます☆とっても分かりやすかったです! つかえていたものが取れた気がします♪