因数定理らへん…

質問

方程式x^4-4x^3-8x^2-24x-45=0は、x=1+√2iを解に持つ、この方程式を求めよと言う問題なんですが、
もぉ一つの解がx=1-√2i っていうのはわかるのですが、
問題のヒントに
この方程式はx=1±√2iを解にもつから、x^2-2x+3を因数に持つってかいてあるんですけど、その理由が全然わかりません
そこんとこ詳しく教えて下さい

回答No.2

Largo_sp · ベストアンサー

解と係数の関係をつかえば、でてきますね...

α＝1+√2i　β＝1-√2ｉとおけば、

αβ＝3　α+β＝2...ですよね...

回答No.1

jun9031

まず、４次方程式がx=a,b,c,dの４つの解をもつとすると、その４次方程式は、
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=0と因数分解できます。
ここまではいいですか？
（実際xにa,b,c,dを代入するとわかりやすいですね。）
もとの４次方程式の左辺は(x-a)、(x-b)、(x-c)、(x-d)のそれぞれで割り切れることも重要ですので覚えて置いてください。

で、今問題の４次方程式がx=1±√2iを解に持ちます。
他の２つの解をx=a,bとおくと、左辺は次のように因数分解できるはずです。
(x-a)(x-b)(x-(1+√2i)(x-(1-√2i)
そこでうしろの２つの項
(x-(1+√2i)(x-(1-√2i)を展開すると、
x^2-2x+3となるわけです。
よって、もとの４次式は(x-a)(x-b)(x^2-2x+3）
と書き直せるわけです。
よって元の左辺をx^2-2x+3で割った商＝０とした２次方程式の解が残りの解（x=a,b)となるわけです。

つまりこの手の問題は２つの解が分かったらその２つを解にもつ２次方程式を考えます。で、もとの４次式をこの２次式で割った商を考えることで他の２つの解がわかるということです。