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因数定理らへん…
jun9031の回答
- jun9031
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まず、4次方程式がx=a,b,c,dの4つの解をもつとすると、その4次方程式は、 (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=0と因数分解できます。 ここまではいいですか? (実際xにa,b,c,dを代入するとわかりやすいですね。) もとの4次方程式の左辺は(x-a)、(x-b)、(x-c)、(x-d)のそれぞれで割り切れることも重要ですので覚えて置いてください。 で、今問題の4次方程式がx=1±√2iを解に持ちます。 他の2つの解をx=a,bとおくと、左辺は次のように因数分解できるはずです。 (x-a)(x-b)(x-(1+√2i)(x-(1-√2i) そこでうしろの2つの項 (x-(1+√2i)(x-(1-√2i)を展開すると、 x^2-2x+3となるわけです。 よって、もとの4次式は(x-a)(x-b)(x^2-2x+3) と書き直せるわけです。 よって元の左辺をx^2-2x+3で割った商=0とした2次方程式の解が残りの解(x=a,b)となるわけです。 つまりこの手の問題は2つの解が分かったらその2つを解にもつ2次方程式を考えます。で、もとの4次式をこの2次式で割った商を考えることで他の2つの解がわかるということです。
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