薄いアルミ板の応力

質問

直方体のステンレスの箱があります。
サイズは、縦150、横（a）100、高さ40、厚みは2とします。
この箱の上側には、蓋がわりに厚み0.2の薄いアルミ板が張り付けてあって、内部は密封状態になっています。

このアルミ板が気圧の変動に耐えるかどうかを検討して、報告書を提出しなければなりません。
そこで、気圧の変動幅ｐ＝１kPaとして、発生応力などについて検討してみましたが、結果が変なのです。
（a=100mm、h=0.2mm、E=72GPa、 α＝24×10^-6）

・最大曲げ応力σの計算
機械工学便覧の、長方形板、４辺固定、等分布荷重の問題の解によると、最大曲げ応力σは、固定部の長辺中央で発生して、
σ ＝β2・ｐａ^2/ｈ^2 ＝115MPa　（β2＝0.46 ）
となります。

・最大たわみｗの計算
最大たわみｗは、板中央に発生して、
ｗ＝α2・pa^4/Eh^3＝4.3mm （α2＝0.025）
となります。

変な点－その１
この材料の引張強さはJISから75～105MPaですから、σはこの範囲をこえています。
実際の気圧変動は１kPaよりも大きい場合があって、この場合はすぐにこわれてしまうというのでしょうか？
実は、上の寸法は、すでに製造して２～３年使用実績のあるものです。こわれたものはありません。

変な点－その２
気圧変動１kPaで、4.3mmもたわんだら、目に見えると思います。
しかし、この前台風が来た時、気圧は－２kPaぐらいになっていたはずで、この２倍の8.6mmほどたわむはずでした。
でも、実際には目に見えるようなたわみは発生しませんでした。

以上の計算は、実際の状態を表していないと思うのですが、計算式や値の代入は間違えていないと思います。
いったい、どこがおかしいのでしょうか？
考え違いをしているのでしょうか？
周囲の先輩たちに聞いても、原因がわかりません。
どなたか教えていただけませんか？

回答No.1

h191224 · ベストアンサー

これは、有名な非線形問題です。

まず、材料力学の板や梁の公式は、部材の変形挙動が曲げ剛性に支配されているという前提に立って導かれています。
部材を水平に保とうとして、形が保てないような部材は、曲げ剛性が支配的ではありません。要するに、板や梁の公式が使えません。
この場合、ぴんと張った状態を初期状態として、そこからの変形を議論することになり、引張剛性が支配的になります。
板や梁の公式は、たわみｗが高さｈを超えたら適用できない、という話は、どこかで聞いたことがありませんか？　特に、今のように、両端固定の場合には、適用限界外になってしまいます。

また、梁や板の解は、軸力や面内力を計算してくれません。
両端固定の梁の中央にせん断荷重をかけると、実際は軸力が発生するのですが、これは２次の微小量となるために、省略されてしまい、線形計算をする限り、計算してくれないのです。
今回のあなたの問題は、この軸力(板なので面内力)が計算できないと、正しい評価ができません。

では、どうやって答えを導くのか？
それは、ピンと張った弦の中央に、弦に垂直方向に力を加えると、梁の理論では３次関数で変形しますが、弦は明らかに３角形の２辺を構成するように、直線状に変形します。
要するに、弦の張力と力のつり合いを考えてやれば、解けてしまうのです。
分布荷重を単位長さあたりｆとすると、だいたい次のように近似できます。
ｗ＝Ｌ／２・（ｆＬ／４ＡＥ）^(1/3)
今の場合をＬ＝ａの梁(*)と置いて、値を代入してみると、
１kPaに対して、ｗ＝0.60mm
２kPaに対して、ｗ＝0.95mm
ぐらいの値が得られます。
a=100の両端(長辺側)を固定し、反対側の短辺側を自由とした場合の解に相当します。４辺固定よりは少し大きめに出ている値です。

機械工学便覧には、大たわみの解が掲載されているのですが、あれも曲げ剛性支配の解ですので、今のような引張剛性支配の問題には適用できません。

応力や軸力を計算する式がどうだったか、昔誘導した解があるはずなのですが、今すぐにはわからないので、もし見つけたら画像欄に掲載します。
この質問は来週の月曜までは閉じないでおいて下さい。もし見つからなかったらごめんなさい。

なお、もし可能なら、幾何学的非線形問題が解けるCAEソフトを使って、荷重を1/10キザミぐらいで段階的にかけて計算してみると、数値解は得られます。

(*)梁とは、曲げ剛性支配の部材を指すので、ここで梁と呼ぶのは、本当はふさわしくありません。

お礼

ありがとうございました。
こんなに早く回答がいただけるなんて、思ってもみませんでした。

目からうろこの状態で、まだよく理解できていないというのが本当のところなのです。もし解の誘導過程などを教えていただけるのであれば、よろしくお願いいたします。

それから、私自身は理解できつつあるのですが、宿場の先輩たちは「こんなこと初めて聞いた」といって、全然納得できていません。
曲げ剛性支配とか引張剛性支配という意味や、なぜ荷重が小さいうちから非線形になるのかといったことがわからないようです。
たしかに機械工学便覧にさえ、このようなことは説明されていません。
回答者様は、これまでのほかの質問に対する回答を拝見すると、とてもご立派な方とお見受けしますが、どなたかを知ることができないこのがの掲示板のルールのようですので、せめて、職場の先輩たちを理解させられるような文献がありましたら、ご紹介いただきたいと思うのですが、可能でしょうか？

CAEでの解析については、ANSYS－EDというものが職場にありますので、これから使い方の勉強を始めて、ぜひやってみたいと思います。
先輩たちも、回答者様が書かれた数字が計算されてくれば、その結果で納得してくれるかも知れません。

これからもよろしくお願いいたします。

補足

お礼と補足が反対になってしまいましたが、ごめんなさい。
ANSYS-EDの使い方を知っている人がいたので、教えてもらって数値計算をやってみました。結果は、1kPaに対して0.59mmとなって、回答者様の書かれたとおりになりました。
先輩たちも、非線形になることがわかってくれました。
解析的に求める方法には興味があるのですが、私の理解のために、いったん質問を閉じさせていただいて、新しい質問をしたいと思います。
ありがとうございました。