行列の証明と展開を教えてください。

質問

行列Ａについて、
Ａ≠０、Ａ^2＝０、Ａｘ＝０
とする。
1.Ａとｘが独立であることを証明せよ
2.Ｂ＝（略）のときＢ'ＡＢを展開せよ
（Ｂ'はＢの逆行列です）

線形代数学の勉強をしていますが、
当方の勉強不足で全く解法が分かりません。
2.ですが、Ｂが問題文に記載されていないので
解答の方針を教えていただけたらと思います。
どうぞご教授くださいませ。

回答No.5

arrysthmia

No.1 の指摘どおり、
質問が問題として成立してないのですが。

記述の不備を妄想で補ってみると、1. は…
「A と x が独立」は、
「A の列ベクトルと x が一次独立」。
「証明せよ」は、
「～となる x が存在することを証明せよ」
と読むのが自然かと思います。

しかし、これには反例が在るんですよね。
A =
　０　１
　０　０
の場合。
A~2 = O ≠ A ですが、
Ax = O となる x は全て
A の列ベクトルに一次従属です。

2. は、流石に
妄想すらしようがない。

回答No.4

Tacosan

そんなことしなくても, A^2 = O から A が正則でない (したがって Ax = 0 となる x が一意に決まらない) ことはほとんど明らかでは＞#3.
でも, Ax = 0 となる x そのものは A に依存しますね.

回答No.3

noname#94461

1. A≠0, A^2=0 を満足する行列
まず2行2列の例から考えてみたのですが、次のような行列はこの条件を満足するようです。
　1 1
-1 -1

1 1 0
-1 -1 0
3 5 0

あるi行の要素がすべて同じ値であり、それに対して各要素の符号反転したペアのj行がある。
その中の幾つかの列要素:i列,j列以外の要素は0でもかまわない。

それ以外の行の要素は全て0である。但しj列の要素が全て0の場合、j行の要素は任意で良い。

以上の条件がAについて成立している場合、A^2=0 となるはずだと思います。
これ以外の条件ではA^2=0にならないかどうかは検討していません。

この条件の場合、Ax=0 の解xは一意には決まりません。
(x1+x2+...+xn=0でありさえすればOKですから)
この意味で　Aとx は独立だと言われているのだと思います。

2. B'ABの展開については検討していません。

以上不十分な点があるとは思われますが、参考にして下さい。

回答No.2

Tacosan

線形代数学の勉強をしている過程でこのような問題が出てきたのであれば, それまでのすべての知識を動員する必要があります.
たとえば, 普通「行列 A とベクトル x が独立である」とは言わない (はずな) ので, 独自に「独立」という言葉を定義しているのかもしれません. 同様に, 「Ｂ'ＡＢを展開」するという言葉にも何かの意味を与えているのかもしれません. だいたい「Ｂ'」だって普通は逆行列に対する表記じゃないし.
いずれにしても, あなたがこれまでに学んだすべてのことを思い出す必要があります. それができないというのであれば, あなたが学校で学んでいるなら担当の教員に質問をする必要があります. また, 独学で学んでいるなら使っている資料 (書籍やサイトなど) をすべて挙げれば, ひょっとすると何とかなるかもしれません.

回答No.1

Tacosan

「A と x が独立である」の定義は?
「B が問題文に記載されていない」て.... そんなの「展開」のしようがないじゃん. 他に何か書いてないの?

補足

回答ありがとうございます。
問題文は上記の事しか書いてないんですよね・・・
私もどうしたらいいか分からなくて;;
展開というのはどういったものでしょうか？
行列式の展開とは違いますよね？