積と逆行列

質問

行列の証明問題です。よろしくお願いいたします。

問題は、
次のことを証明せよ
A,Bが逆行列をもつとき、ABも逆行列をもち、(AB)^(-1)= B^(-1) A^(-1)
です。

解答は、
(AB)（B^(-1) A^(-1)）＝AB B^(-1) A^(-1)=(AEA)^(-1)= AA^(-1)=E
（B^(-1) A^(-1)）(AB)＝B^(-1) A^(-1)AB=(B)^(-1)EB=B^(-1)B=E
よって、ABは逆行列をもち、(AB)^(-1)= B^(-1) A^(-1)
（証明終）
となっています。

ですが、私はどうしてこの二つで証明できるのかわかりません。
私は、(AB) (AB)^(-1)=E=(AB)^(-1) (AB)を証明すべきだと思います。

そこで質問なのですが、どうして解答のような方法で、証明したことになるのでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.3

springside

>>ですが、私はどうしてこの二つで証明できるのかわかりません。
>>私は、(AB) (AB)^(-1)=E=(AB)^(-1) (AB)を証明すべきだと思います。

「（出題者に）何を示してあげればＯＫか」を考えてみましょう。

示すべきことは、
　　ABの逆行列(AB)^(-1)が存在すること
ですよね。

何かが存在することを示すのに一番わかりやすいのは、「それそのもの（現物）を見せてあげる」ことです。（例：時速300kmで走行可能な自動車が存在することを示すには、F1のレース場に連れて行って、走っているF1マシンの速度を計測し、その計測値を見せてあげるのが一番わかりやすい）

で、解答では、

　　行列B^(-1)A^(-1)とABの積はEになるから、ABの逆行列(AB)^(-1)は、確かに存在し、それは、B^(-1)A^(-1)である。

という説明をし、ABの逆行列(AB)^(-1)の現物として、B^(-1)A^(-1)を見せてあげている訳です。

お礼

ご回答ありがとうございます。お礼が遅くなりもうしわけありません。
示すべきものを正確に理解すべきでした。ありがとうございました。

回答No.2

noname#24129

この証明問題は、仮定が「A,Bが逆行列をもつ」であり、式を用いて別の表現をするなら、行列A、Bが存在することは大前提としてあるとして、

　A^(-1)、B^(-1)が存在する・・・(a)

となる。導出すべき結論は、

　(AB)^(-1)が存在し、(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)である。・・・(r)

であらわされる。導出すべき結論を証明の始めに仮定するのは、反則だと思われるので、(結論の否定を始めに仮定する背理法というものはあるが)

　AB(AB)^(-1)=

などという始め方はできない。一方、すべて仮定されているものを用いた

　AB{B^(-1)A^(-1)}

で始めるのは、問題がない。これは一見結論の一部を用いているように見えるが、存在すると仮定された行列から積を構成することは、行列の定義の範囲の中で自由にできることが暗黙の根拠になっている。厳密にいうと、問題文には、AとBがサイズが等しい正方行列という表現がかけているので、Aが２次の正方行列、Bが３次の正方行列であるとき、それぞれの逆行列A^(-1)、B^(-1)が存在すると仮定しても、ABは考えられないから証明不可能である。ここにも、おそらく高校数学で逆行列といえば２次の正方行列に限定するという暗黙の了解があって、ABが存在することは無条件に成り立ち、問われないのだろう。私はそれでいいとは思わない。問題文にはっきりと明示すべきであると思う。

で、仮に、A、Bが２次の正方行列であれば、その逆行列A^(-1)、B^(-1)が存在するなら、それらも２次の正方行列であるから、積A^(-1)B^(-1)、B^(-1)A^(-1)も存在する。もちろん積AB、BAも存在する。それらは、すべて２次の正方行列であるのでさらに、それらからなる積、ABB^(-1)A^(-1)や、B^(-1)A^(-1)ABを構成して、Eとなることを示しても問題ない。

２次の正方行列PとQが存在し、PQ=QP=E(Eは単位行列)を満たすなら、P、Qが互いに逆行列であるといえるのを根拠に、証明できるのである。

お礼

ご回答ありがとうございます。お礼が遅くなってすみません。よくわからなかったものですから。

証明をすべきものがわかりました。
再度考えてみます。ありがとうございました。

回答No.1

totoro7683

＞私は、(AB) (AB)^(-1)=E=(AB)^(-1) (AB)を証明すべきだと思います。
とありますがこれは証明するまでもなく(AB)^(-1)の定義です。
行列Mの逆行列の定義を思い出してください。
MN=NM=Eとなる行列NをM^{-1}とかきMの逆行列と呼んだのです。
いまABに逆行列が存在し、（AB)^{-1}＝B^(-1) A^(-1)
を示せという問題なので
必要なことはB^(-1) A^(-1)が　ABの逆行列の
定義を満たしていること
つまり（AB)（B^(-1) A^(-1)）＝（B^(-1) A^(-1)）(AB)＝E
を証明すべきなのです。
だからこの解答の通りなのです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ご指摘ありがとうございます。確かにAA^１=E, BB^1=Eは定義なので、証明するまでもありませんが、(AB) (AB)^(-1)=E=(AB)^(-1) (AB)は定義ではないのでは？と思ったのですが、分配法則を適用すると確かに定義になりますね。すいません。

問題の問われている点を再度理解しなおしてみます。