- ベストアンサー
逆行列の性質の証明
- みんなの回答 （5）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
AとBが正則行列であることが前提ですが、 B^(-1)A^(-1)の左からABを掛けてあげると (AB)B^(-1)A^(-1)=E これはつまり、行列ABは正則行列でABという行列に対してB^(-1)A^(-1)を逆行列に持つことを示している。 よって、以下のようになる。 (AB)(AB)^(-1)=(AB)B^(-1)A^(-1) 以上より、等式は示された。 こんなんでどうでしょうか？
その他の回答 (4)
すんません。 誤り訂正。 おそらく、「左」からかけた場合も成立することを明記しないと....
>両辺にB^(-1),A^(-1)を順に右からかけると >X=B^(-1)A^(-1) (証明終わり) >.... としたのですがダメと言われました。 おそらく、右からかけた場合も成立することを明記しないと、 中途半端(右逆行列であることしか示してない)なのだと愚考します。
- guuman
- ベストアンサー率30% (100/331)
「ABの逆行列をXとする」 としているが A,Bそれぞれに逆行列が存在していることは式中に使われているので明白だが ABに逆行列が存在することは保証されていない この問題にはABに逆行列が存在することを示すことも要求している だから最初からはこうおけない ＃１はABに逆行列が存在することを使っていないので問題ない
- ant-28
- ベストアンサー率30% (17/56)
私はその教科書を見ていないので、なんとも言えませんが、定義が成り立てば良いと言う方針であれば、下記に示す通りです。 解) ABB^(-1)A^(-1) =AEA^(-1) =AA^(-1) =E …① また B^(-1)A^(-1)AB =B^(-1)EB =B^(-1)B =E …② ①②より (AB) ^(-1)=B^(-1)A^(-1)
関連するQ&A
- 積と逆行列
行列の証明問題です。よろしくお願いいたします。 問題は、 次のことを証明せよ A,Bが逆行列をもつとき、ABも逆行列をもち、(AB)^(-1)= B^(-1) A^(-1) です。 解答は、 (AB)（B^(-1) A^(-1)）＝AB B^(-1) A^(-1)=(AEA)^(-1)= AA^(-1)=E （B^(-1) A^(-1)）(AB)＝B^(-1) A^(-1)AB=(B)^(-1)EB=B^(-1)B=E よって、ABは逆行列をもち、(AB)^(-1)= B^(-1) A^(-1) （証明終） となっています。 ですが、私はどうしてこの二つで証明できるのかわかりません。 私は、(AB) (AB)^(-1)=E=(AB)^(-1) (AB)を証明すべきだと思います。 そこで質問なのですが、どうして解答のような方法で、証明したことになるのでしょうか？ よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 右逆行列の存在証明
線形代数で行列の「正則」で悩んでいます。 手持ちの線形代数の本ではどの本も 「正則」の「定義」が 正方行列 A に対して XA = AX = E(単位行列) となる X が存在する場合 A は「正則」である。 と定義し、これを出発点として様々な定義を導いています。 これはこれでよいのですが、しかし、よく考えてみると 1) XA=E が存在する場合 A は正則とする(左逆行列による正則の定義) 2) XA=E が存在する場合AX'=E が存在する(右逆行列の存在定理) 3) X = X' (左逆行列 と 右逆行列の同一性の定理) というように、定義は基本的な定義と2個の定理に 分解できるような気がします。 定理なら証明が必要と思い、いろいろ考えてみたのですが、 1),かつ2) ⇒ 3) は XAX' = X = X' なので簡単なのですが、 2) をどうしても証明できません。 そもそもこのような定義から出発するのは間違っているのでしょうか？ また、2)の証明が載っている参考書はありませんでしょうか？ 以上よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ３×３行列の逆行列
２×２行列の逆行列はいわずと知れた、 A= (a b) (c d) に対し A^(-1)=1/(ad-bc) * (d -b) (-c a) ですよね。 でも３×３行列Xの逆行列X^(-1)の一般式って教科書に載ってないんですよね。 具体的にXが数値的に与えられてるときは基本変形を使って (X E)→…→(E X^(-1)) と逆行列を求める方法は示されてるのですが一般式となると載ってない。 これは書こうとするととんでもなく面倒な式になるからなのでしょうか？ X= (x_11 x_12 x_13) (x_21 x_22 x_23) (x_31 x_32 x_33) の逆行列、表せるのであれば教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 証明できません・・・【一般逆行列】
こんにちわ。lock_mというものです。 次のような問題に会ったのですが、いい証明方法が見つかりません。 AX=C ・・・・・(i) AGA=Aを満たす行列GをAの1逆という。 Aのある1逆Gについて、AGC=Cが成立するとき、方程式(i)は解を持つことを示せ。 という問題です。 自分で証明してみた結果 AX=Cの両辺に右からAをかけるとAXA=CAとなり、CA=AGCAなので、 AXA=AGCAであり、両辺を比較するとX=GCであるので、方程式(i)は解を持つ。 という証明になったのですが。まったくしっくり来ません・・・。 そもそも両辺を比較していいんでしょうか？ 何かよい証明方法がありましたらご教授お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 逆行列の証明教えてください!
高2です。 逆行列の証明がわからないので、どなたか教えてください! 早急にお答えいただければ助かります。 (1)A＾3＋A＝Eならば、A＾－1＝A＾2＋Eを証明せよ (2)正方行列Aが逆行列A＾－1をもつとき、A＝A＾－1⇔A＾2＝Eを証明せよ 面倒くさい質問ではありますが、よろしくお願いいたします!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 逆行列の証明
逆行列の証明 行列Aに対して、AX=Eを満たす行列XをX＝(p,q,r,s)とするとap+br=1・・・(1) aq+bs=0・・・・(2) cp+dr=0・・・・(3)、cq+ds=1・・・・(4) (1)×ｄ－(3)×bから(ad-bc)p=d (2)×d-(4)×bから(ad-bc)q=-b (3)×a-(1)×cから(ad-bc)r=-c (4)×a-(2)×cから(ad-bc)s=a ?＝ad-bcnot=0のとき p=d/?,q=-b/?,r=-c/?,s=a/?ゆえにX=1/?（d,-b,-c,a) このようにXを定めると、上の計算の逆をたどってAX=E ・・・・・・・以下省略 教えてほしいところ 何故、上の計算の逆をたどる必要があるのか理解できません。 AX=Eが成り立つようなXを求めたんだから、AX=Eが成り立つに決まってませんか？？？ 確認する必要性を教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
