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線形代数学 逆行列 証明 性質
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AがEではなく，かつ，正則であるとする． A^2=Aとすると， A^{-1}を左から作用させて A^{-1}A^2=A^{-1}A A=E これはA=Eではないことに反する． よって， A^2はAではない． 対偶をとれば証明終わり
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- adinat
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行列環は整域ではないので、ANo.1の方のようにやってはダメです。もう少し具体的にいうと、因数分解して、A(A-E)=Oまではよいですが、これからA=OまたはA-E=Oとはできません。というのは行列には零因子というものがあり、零行列でない行列同士をかけて零行列になることがあるからです。 こういうときは場合わけをして回答すればいいのです。Aが正則だとすると、Aは逆行列を持ちます。A^{-1}を与えられた等式の両辺にかけてみましょう。Aが正則でない場合はどうするか。って、そんなときは何の考察もしなくてよいよ、というのがこの問題ですね。
A^2=Aであるとき、Aが正則行列であるならば、逆行列A^(-1)が存在する。よって、Aが正則行列であれば、A^2=Aのとき、A^(-1)を式の両側に掛けると、A=Eとなるので、Aが正則行列であれば、A=Eであり、そうでないならば、Aは正則行列ではない。 というのではいけませんか？
- N64
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A^2 - A = [0] A ( A - E ) = [0] A =[0] or A = E では、だめでしょうか？
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