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線形代数[行列]の証明問題
線形代数[行列]の証明問題の解答を教えて下さい。 ※以下、Oは零行列、Eは単位行列を表す 1.Aが正則な対称行列であれば、Aインバース(Aの逆行列)も対称行列になることを示せ。 2.Aの3乗=Oのとき、E+A、E-Aはともに正則行列になることを示せ。
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1 A・A^-1=E ⇒ (A・A^-1)^T=E^T ⇒ (A^-1)^T・A^T=E ⇒ (A^-1)^T・A=E ⇒ (A^-1)^T・A・A^-1=E・A^-1 ⇒ (A^-1)^T=A^-1 2 -A^3=0 ⇒ E^3-A^3=E ⇒ ・・・・ ⇒ E-Aの逆元は・・・ ⇒ E-Aは・・ ・・,・・・,・・・・を補足に書け
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- guuman
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・・に正しい語句を補足に書いて締め切れ この質問以外の質問は改めてすること
お礼
ご協力ありがとうございました。大変参考になりました。
補足
訂正:ANo.3の補足 Aが正則のとき、A・A^-1=A^-1・A=E 最終的に以下のように解答しました。 ※「A^-1」はAインバース(Aの逆行列)を、「t^A」はAの転置行列を表す 1.証明) Aが正則な対称行列だから、 t^(A^-1)・t^A=E t^(A^-1)・A=E t^(A^-1)・A・A^-1=E・A^-1 t^(A^-1)・E=E・A^-1 t^(A^-1)=A^-1 よって、A^-1も対称行列である。 2.証明) A^3=O A・A・A=O A・A・A・A^-1=O・A^-1 A・A・E=O A^2=O E=E+A^3=(E+A)(E-A+A^2)=(E+A)(E-A+O)=(E+A)(E-A) よって、E+A、E-Aは互いに逆行列同士なので、ともに正則行列である。
- guuman
- ベストアンサー率30% (100/331)
正則の定義とその必要十分条件を列挙せよ
補足
正方行列Aが逆行列をもつとき、Aは正則行列である。 Aが正則のとき、AA^-1=A^1A=E
- ojisan7
- ベストアンサー率47% (489/1029)
1.AのCofactorをAijとすると、 Aが対称行列であれば、Aij=Ajiが成り立つ。このことを示せばよい。 2.(E-A)(E+A)=Eが成り立つ。このことを示せばよい。
お礼
ご協力ありがとうございました。
補足
もう少し具体的に(数学が苦手な人にも分かりやすいように)教えていただけると幸いです。 あと、「Cofactor」というのは何でしょうか。
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