因数定理について教えてください

質問

P(x)=x^3-7x+6　を因数定理を使って因数分解せよ。

〔解〕
P(1)=0　より
P(x) は x-1 で割り切れる。
ゆえに
P(x)=(x-1)(x^2+x+6)
=(x-1)(x-2)(x+3)

と例が載っているのですが、P(1)=0 の部分がわかりません。
解説には「定数項6の約数を順番に代入する」と説明が入っているのですが何故、定数項の約数を代入していくとP(x)=0 となるxがみつかるのですか？
定数項の約数でない数を代入する必要はない、というのがなぜか分かりません。

それと、もし定数項が100や200など、大きい数だったらどうすればよいでしょうか。
P(x)=0となるxを見つけるのにかなり時間がかかってしまいますよね。
これは総当り式に代入していく以外に方法はないのですか？

宜しくお願いします。

回答No.3

kaede_h

着眼点は凄く良いですよ。
P(x)=(x-1)(x-2)(x+3)を例に考えてみます。

まず、P(x)の定数項はいくつですか？
P(x)=(x-1)(x^2+x+6)=x^3+5x-6 と展開していけば、
-6すなわち、-1*-2*+3 になるのがわかりますよね。

つまり、P(x)において定数項は最低次の項なので、
(x-1)(x-2)(x+3)のそれぞれの最低次の項を掛けてのみ作られるという事です。

このことから逆に、定数項が6であるなら、
"それを因数分解した際の定数項は6の因数だ"とわかるはずです。

-----------------
もしこの説明がわからなければこちらを参考にしてください。

2桁×2桁の掛け算をするとき、積の1の位は、それぞれの１の位の積で、
10の位はまったく関係ありません。

12*13=156
22*23=506

と、それぞれの1の位が2と3なら、必ず積の１の位は6になります。
なので逆に、"積の1の位が6である掛け算は、
必ず因数の1の位が、約数である1・6か2・3になる!！"とわかります。
-----------------------

ここまでの説明で、なぜ約数を取るのか・
約数でない数はダメなのかが分かってもらえたと思います。

後はP(x)に代入すれば、
P(x)=(x-1)(x-2)(x+3)　←のどれかしらが0になるので、
P(x)=0となるわけですね。、

＞定数項が100や200など、大きい数だったらどうすればよいでしょうか。
これについては、出来るだけ小さな約数から試して行きましょうとしか言えません。

ただ、計算をこなす事である程度"勘"が働くようになります。
最初のうちは計算ミスなども混じってかなりわかりにくいと思いますが、
そのうちへっちゃらになりますよ。

頑張ってください。