高次方程式が解けなくて困っています

質問

こんばんは。高校2年生の女子です。
今、高次方程式の問題を解いているのですが、どうしてもわからないことがあります。

数研出版のチャート式の中に書いてある解説なのですが、
「2x^3 - 9x^2 + 2は、定数項の2の約数±1、±2を代入しても0にならない。
そこで、2x^3 - 9x^2 + 2 = (2x + β)(x^2 + px + q) とすると、βは定数項の約数であり、kは-β/2すなわち±1/2、±1のどれか。」
と書いてあります。定数項の2の約数を代入しても０にならないところまでは理解できるのですが、そのあとが、どうしてそうなるのかが分かりません。教えてください。
ここで止まってしまって、先に進めません。本当に困っています。助けてください。

回答No.1

DJ-Potato · ベストアンサー

F(k) = 0のとき
F(x) = (x - k)G(x)にできる、という所は理解されている、ということですね。

kを探す時に、定数項の±約数をとりあえず入れてみる、というのが鉄則です。
ついで、次数の一番高い項の係数でその数を割ったヤツを入れてみる、というのが鉄則２です。

Ax^n + Bx^(n-1) + ・・・ + C = 0　　なら
まずCの±約数
次に(Cの±約数) / A

それを、難しく解説しているのが、この文だと思います。

お礼

すごく早い回答、ありがとうございました。
とてもシンプルな解説で、わかりやすかったです。
本当にありがとうございました。これで、他の問題もがんばってみます。

回答No.3

info22_

>そのあとが、どうしてそうなるのかが分かりません。教えてください。

f(x)=2x^3 - 9x^2 + 2
が有理数の範囲で因数分解できるとしたら

その因数は

◆1のケース
　f(x)=(x-a)(2x^2+px+q) (a,p,qは整数で -aq=2)
◆2のケース
　f(x)=(2x-a)(x^2+px+q) (a,p,qは整数で -aq=2)

の２つのケースがあることはお分かりですね。

◆1のaの候補は -aq=2 から　a=±1,±2 でしたね。
　f(1),f(-1),f(2),f(-2)がいずれも「≠0」なのでこのケースの因数(x-a)を持たない
　ことまでは分かったということですね。

まだおやりでない◆2のケースですが、因数(2x-a)=2(x-(a/2))となるので
　因数定理における試行はf(a/2)について行うことはわかりますね。
　-aq=2 から　a=±1,±2 ですから 試行は a/2=±1/2に付いて行うことになります。
　a=±2の場合は因数が　(2x±2)=2(x±1)となって(a/2が整数の場合)◆1のケースに
　含まれるのでこの場合の試行は不要（冗長＝ダブルので無駄）です。
　f(1/2),f(-1/2)が試行候補です。
　f(1/2)=0,f(-1/2)=-1/2≠0なので　f(x)は因数 2(x-(1/2))=(2x-1)を持つことが
　分かります。

f(x)を因数(2x-1)で割って
　f(x)=(2x-1)(x^2-4x-2)
となります。

結果として、チャートの中の解説にあるようなことになりますね。
なお、上で説明したように、チャートの後半のk=±1は冗長ですね。

お礼

早い回答、ありがとうございました。
とても詳しい解説で、わかりやすかったです。
本当にありがとうございました。
これで、他の問題も頑張ってみようと思います。

回答No.2

Tacosan

整数係数の代数方程式だから.

お礼

早い回答ありがとうございます。
とってもシンプルな回答で、ちょっと私にはぴんときませんでした。
回答ありがとうございました。