- ベストアンサー
黄金比
Wikipediaの黄金比の説明によると美しい連分数を持つとあります。 質問の内容はこの黄金比と連分数を無理に結びつけていないかなのですが、順を追って説明します。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%84%E9%87%91%E6%AF%94 なるほど綺麗だなと実際に計算してみると どんな二次関数も似た構造になることが分かりました。。。 一応式の変形を掲げておきます。 x^2-4x+3=0 という二次方程式があったとして x^2=4x-3 に変形でき、これを両辺 X で割るとx=4-3/x となります。 xの部分に4-3/xを代入していくと連分数になります。 黄金比はx^2-x-1=0の解ですがx^2-nx-n=0（n=1、2、3・・・）ならば ｎの値にしたがって黄金比のところの連分数の値が1、2、3と変わっていくのが分かります。 つまりnが2以上の黄金比でなくても綺麗な形の連分数になるということです。 しかし、nが2以上の解が図形の比率で意味を持つというのを聞いたことがありません。 ゆえに無理に黄金比と連分数を結びつけて、神秘性をこじつけている気がしているのです。 それとも何か数学的に重要な意味があるのでしょうか？
- hawkwind
- お礼率88% (261/295)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数4
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
まあ、それはこじつけですね（笑） 連分数の導入の方法自体が違います。まあ、多分偶然です。 （それにしても、全ての二次方程式が連分数構造になるのは面白い発見ですね） 本来、解に対して、解が連分数の構造になっているものです。 ところが質問者は二次方程式を変形しています。 実は黄金比の連分数展開としてその事例は時折用いられます。 wikiにも掲載されているようなので、恐らくこちらをみて錯覚したのでしょう。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0 黄金比や白銀比は連分数のn＝1、2、3において次の数列の関係にあります。 An=A2+(1/An-1) A1=1、A2=k ちょっと分かりにくいかもしれませんが、A2の値が1なら黄金比、2なら白銀比です。 A2の値が3だと赤銅比とかいう名前がついているようですが詳細は知りません。 このAnの極限値を求めると黄金比が導かれているというものです。 図形としての比に意義を見出すのならA2=1、2、3までではないでしょうか？ 実際に計算してみると分かりますが、Anの値はどんどん大きくなっていくので比に適さなくなります。 まあ、自然界のあっと驚く何かが隠されているかもは否定しません。
その他の回答 (3)
- tsukita
- ベストアンサー率50% (41/82)
回答者No2です。 黄金比…連分数…フラクタル との関連において、黄金比と連分数の結びつきが“こじつけ”でない理由を以下のホームページで感じることができるかもしれません。 http://gakuen.gifu-net.ed.jp/~contents/museum/golden/page62.html フラクタルというようりは、“自己相似性”ということばがしっくりきますね☆
お礼
ご回答ありがとうございます。 そうなんですよね。フィボナッチ係数だと実に素晴らしく綺麗に結びつくんです。 だから何かあるはずだと思ってしまうんです。 しかし、連分数の値が任意に如何ようにでも採れるとわかると、 無数に組み合わせが存在するわけで、急に意義が見えなくなってしまうんです。 x^2-nx-n=0（n=1、2、3・・・）でn=1は黄金比ですが n=2 以上で意味があればこの系列だけは特別と割り切ることができるんですが。 私の想像力では限界に達しているようなので愛好家の方に聞いてみました。
- tsukita
- ベストアンサー率50% (41/82)
はじめまして。 連分数について精通しているわけではありませんので、 読み飛ばしていただいても構いません。 まず、連分数は「無限」の操作の繰り返しという観点で興味深いのだと思います。例えば、連分数で表すことができる数の全体集合はどうなるか？などはちょっと気になったりします。 二次式から連分数を構成しているわけですが、これは連分数の一面を捉えることしかできていないため、あまり意味がないものに思えます。 >ゆえに無理に黄金比と連分数を結びつけて、神秘性をこじつけている気がしているのです。 わかるような気もしますが、でも、黄金比が“最も単純な連分数”で表現されることは驚きです。黄金比は自然界に存在しますから、ある意味で自然界が単純であることや、フラクタル（同じ形の繰り返しという意味で…）と自然界との関係があるような気がして、私は少しは神秘的なものを感じます。
- kata_san
- ベストアンサー率33% (423/1261)
>神秘性・・・ こじつけではないということは、そのページを読めば理解できると思います。 歴史的に好んで使用してきたという事実があって、その比を数学的に検証するとその様な式になるということではないでしょうか？ 実際に用いられているものの多くに「黄金比」が使用されている。 という事実を質問者はどのように説明しますか？ A4やA3などの用紙の大きさはこの「黄金比」に良く似ている「白銀比」が使用されています。 用紙サイズ Ａ列：13,18,26,37,52,74,105,148,210,297,420,594,841,1189 Ｂ列：16,22,32,45,64,91,128,182,257,364,515,728,1030,1456 隣り合った数値が用紙の縦・横の寸法になるようになっています。 こういったものもどのように説明するのでしょうか？
補足
さっそくのご回答ありがとうございます。 黄金比や白銀比はよく知っています。それに対する連分数も以前から知っていました。 勿論、黄金比や白銀比が図形的に意味のあることもしっています。 それで今週黄金比と連分数の関連性について本格的に考えてみました。 ところが連分数において数学的意義が見いだせないのです。 特に全ての２次関数は連分数に変形できることが分かったとき、 これは何だろう？と非常に懐疑的な気分になりました。 黄金比は１が並んで綺麗になりました。 しかし、それが偶然ではないかということです。 質問で挙げたようにnが2でも3でも、その解が図形的な意味を持てば納得できるのですが・・・ 私の想像力では限界に達したため、ここで聞いています。 なにかしら驚くものが隠されているような感じもしております。
関連するQ&A
- 黄金比とフィボナッチ数列
分母がある自然数Ｎ以下で分子も自然数の分数の集合を考えたとき、 集合の中で最も黄金比に近い値を持つものは、必ずフィボナッチ数の分数になっているような気がします。 <一応プログラムによって約21億まで確認しましたが、そうなっていました。 これって証明できるのでしょうか？ 例えばＮを10とすると、13/8が分母が10以下の分数で最も黄金比に近い値を持つのですが、フィボナッチ数の分数となっています。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 連比の法則について
教科書と動画を併せて見たのですが 連比の法則がいまいち理解仕切れず、母に聞いたところ、動画より何倍も分かり易く、簡単に理解できました。 動画では 例えばＡ：Ｂ＝２：３、Ｂ：Ｃ＝５：４の場合（数字は適当なので、問題としてなり立たない場合があるかと思います） Ａ：Ｂ：Ｃ ２：３ ５：４ (表示の仕方でズレが生じるかも知れません） と書いて、まずＢは３と５の最小公倍数が15だから15。 で、Ａは2×5で10、Ｃは4×5で20という説明のみで 何で最小公倍数？何で2に5を掛けるの？何で4に5を掛けるの？という感じでした。 （説明的に、通分のような感じだなとは思った物の、なんでそうなるのかが全く分かりませんでした） ただ、教科書の書き方的に 私は下記のように理解しました。 （上記問題の場合）「被っている数字は掛けた物がその値（被っている＝Ｂの値、のため3×5＝15＝Ｂ）。ＡとＣの値は、被っている値、Ｂと掛けたものがその値。但し同じ比同士は掛けてはいけない。（2×3ではなくて2×5、4×5でなくて、4×3）」 というふうにしか理解できず、またその考え方で、その手の問題が解けてしまったため、余計この考え方で合っているんだというふうになりました。 （最終的には、こういう考え方だと最小公倍数が、それぞれの数字を掛けたものとイコールでない場合は成立しないと気づきました。（例えば2と4だと2×4＝8ではなくて、4ですので） で、母に聞いたところ 連比という法則は聞いたことが無かったようなのですが、 教科書で見聞きした内容を母に話したところ 連比の法則という形で認識していなかったものの、こういう場合はこう計算すれば答えが出るというのは知っていました。（連比の法則というよりも、比はこういうものだからという説明の仕方でした） で、その説明が分かり易かったのですが Ａ：Ｂ：Ｃ ２：３ ５：４ 「まずＢは3×5で15でしょ。で、3を5倍したら15なんだから2も5倍。5を3倍したら15なんだから4も3倍。」 これで「なるほど」となりました。 結局3×5をするところは最小公倍数を出すという意味で、そこは１＋１はなぜ２になるのかと同レベルで疑問を持ってはいけない所。 で、通分と一緒で、3を5倍したなら2も5倍しないとおかしくなる。 5を3倍したなら、4も3倍しないといけないという理解ができ、スッキリしました。 そこで、やっと気づいたのが 0.3：2＝0.6：4みたいな場合、分かりづらいから小数を10倍して整数にする。 で、小数だけ10倍にしたらおかしいから2も4も10倍にする（というか、全てに10を掛ける）。 と一緒だということです。 で、ふとそのことを母に言ったところ「当然でしょ」という感じでした。 動画ではそのような説明は一切無く、 最小公倍数を求めるという以外、細かい説明はありませんでした。 普通は、それだけで全てを理解できる物なのですか？ やっぱり私は理解力が乏しいのでしょうか？ 小数が混じった比の計算で全ての数を10倍、100倍したり 分数が混じった比の計算で整数にするため、分母の最小公倍数をすべての数にかけたりすることは知っていましたし、そういう問題を解けてはいましたが、 それはそれ、これはこれという感じで、頭の中で全く繋がりませんでした。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ペル方程式の自然数解と有理数解
Dを平方数でない自然数とするとき、ペル方程式 x^2-Dy^2=1 は非自明な整数解(x,y)∈Z^2、特に自然数解(x,y)∈N^2を持つことは有名な事実です。Dirichlet原理(無理数の整数周期性の非存在)を用いた抽象論的証明や、二次無理数の(正則)連分数展開の周期性を用いた構成的証明が知られていると思いますが、非自明な有理数解でよいのなら、 (x,y)=((D+n^2)/(D-n^2),2n/(D-n^2))が確かに解を与えることは直ちにわかります。必要というわけではないですが、n^2<D<(n+1)^2としておきます。 もちろん(D+n^2)/(D-n^2)と2n/(D-n^2)が自然数になるようなD、たとえば、D=2,3,5,6,8,10,…などは非自明な自然数解の存在も同時にわかるわけですが、たとえばD=7などでは自然数解の存在まではこれだけではわかりません。そこで、有理数解の存在を既知とした場合、それから自然数解の存在を導く証明はないのか、と考えたのですが、思いつきませんでした。もし何かよい方法があればご教授いただけませんか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 初歩的な比の問題
ある比の問題で、解答と異なる方法で解いたのですが、正しいかどうかがわかりません。 比が、m:n のとき、 mからaを引いて、nからbを引きます。 この比、(m-a)：(n-b) が、元の比(m:n)と同じになるとします。 このとき、a:b は、m:nと同じ比になるのでしょうか？ 具体的に、解答のほうを簡略して書いておきますと、 ｘ個と50個の2種類のものがあり、比は、x:50 ・・・(1) ここから、15個と30個をとり、 (x-15)：20 ・・・・(2) 比が同じという条件より、(1)=(2)からx=25と求めるというものです。 このとき、(1)より、25:50 → 1:2 になりますが、 引いた個数の比も、15:30 → 1:2 になるので、 (1)と(2)の比が同じになるなら、引いた数の比でも求められるのではないかと思った次第です。 15個：30個より、直ちに(1)式のｘを25と求めてよいかどうかです。 証明はお手数をおかけしますので書かなくてもかまいませんが、この考え方が正しいかどうか教えてください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 対数・指数関数の極限値
(1)lim(h→0)log10(1+h)/h (10は低) (2)lim(h→∞)(1-2/x)＾x の極限値を求める問題で、私は苦手なのですが… (1)は解はlog10e、でlim(h→0)loge(1+h)/h=1という極限公式を利用するのだと思いますが，どう変形したらよいのか、ちょっとわかりませんでした。 (2)は解は1/e＾2、でlim(h→∞)(1+1/n)＾n=eという極限公式を利用するのだと思いますが，どう変形したら解になるのか、できませんでした。 よろしければ、アドバイスを頂きたいです。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- x=[a_0,a_1,・・・a_n,x_n+1]これは正規連分数表示
x=[a_0,a_1,・・・a_n,x_n+1]これは正規連分数表示 a_0,a_1・・・a_nは0以上の整数。x_n+1≧0のとき x=(x_n+1*(p_n)+p_n-1)/(x_n+1*(q_n)+q_n-1) (n≧1)を示せ。 どなたかこの問題教えてください。お願いします。 考えたんですがやっぱりわからなくて・・・どなたかお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- x=[a_0,a_1・・・a_n,x_n+1]これは正規連分数表示
x=[a_0,a_1・・・a_n,x_n+1]これは正規連分数表示 a_0,a_1・・・a_nは0以上の整数。x_n+1≧0のとき x=(x_n+1*(p_n)+p_n-1)/(x_n+1*(q_n)+q_n-1) (n≧1)を示せ。 どなたかこの問題教えてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- １１月の進研模試のトライ問題なんですが・・・
高校二年生の進研模試の復習プリントのトライ問題なんですがいくら考えても分らないので教えて下さい。お願いします。 ３次方程式x3+mx2+3nx+m+n-1=0(m,nは実数の定数)…(1)は x=1を解にもつ。 (1) mをnを用いて表せ。 (2) ３次方程式(1)の解がすべて実数であるとき,nの値の範囲を求めよ。 (3) (2)のとき,３次方程式(1)の解を-1,α,βとする。α,βが α3+β3=32を満たすとき,nの値を求めよ。 (xとαとβの後ろの数字は何乗の意味です。) (1)はm=n+1だとわかったんですが、(2)(3)がどうしても分らないんで 教えて下さい。あと答えだけじゃなく解き方も教えていただけたらうれしいです。よろしくお願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- e=e^1の値
定義(1) e^x=lim[n→∞](1+x/n)^n 定義(2) e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+... 定義(1)or(2)を採用したとき、 e=e^1の値を少数2桁まで求めよ。（注：eは無理数） ---------------------------------------------- 私は高校数学IIBまで受けていなかったので、無限級数等の言葉の意味がわからず、先日出された上の問題も解法が思いつきません。 先生の授業のみようみまねで、 (1+1/n)^nのn=1,2,3,4,5,,,の計算をしてみましたが、これが答えにどう繋がるのかもよくわかりませんでした。 せめて(1+1/n)^n～が上の問題とどう繋がっているのか教えていただきたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ご回答ありがとうございます。 ２次式の変形ではなく解の方なのですか！ いましがた確認してみたところ、そのようでした・・・ ご呈示いただいた数列がフィボナッチに該当するかどうかはまだ確認していません。 とはいえ、これが事実ならば連分数に大きな意義が見いだせます。 取り敢えずお礼まで。
補足
やはり２次方程式を変形したのは私の勘違いのようでした。 連分数が回答で頂いた数列の形になっていることも非常に驚きました。 たしかに実際の値を採ってみるとそのようになります。 なんとなくですが、その数列が量子力学で重要な意味を持っているかもしれません。 というのも自然界のフィボナッチ現象が量子力学の確率と何らかの関連性があると思っているからです。 今回の黄金比の研究はそんな大それたことを考えたわけではありませんが、 何かしらあるのかなあと追究したのが始まりでした。