対数・指数関数の極限値

質問

(1)lim(h→0)log10(1+h)/h (10は低)　(2)lim(h→∞)(1-2/x)＾x　の極限値を求める問題で、私は苦手なのですが…

(1)は解はlog10e、でlim(h→0)loge(1+h)/h=1という極限公式を利用するのだと思いますが，どう変形したらよいのか、ちょっとわかりませんでした。
(2)は解は1/e＾2、でlim(h→∞)(1+1/n)＾n=eという極限公式を利用するのだと思いますが，どう変形したら解になるのか、できませんでした。

よろしければ、アドバイスを頂きたいです。お願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

>(1)lim(h→0){log_10 (1+h)}/h
log_10 A={log_10 e}log_e A
ですから
lim(h→0){log_10 (1+h)}/h={log_10 e}lim(h→0){log_e (1+h)}/h
={log_10 e}lim(h→0){log_e (1+h)}'/h'　(0/0型だからロピタルの定理適用)
={log_10 e}lim(h→0){1/(1+h)}/1
={log_10 e}lim(h→0) 1/(1+h)={log_10 e}

>(2)lim(h→∞)(1-2/x)^x
lim(x→∞)(1-2/x)^x
のミスではないですか？
x=2nとおけば
(1-2/x)^x={1-(1/n)}^(2n)=[{1-(1/n)}^n}]^2

>解は1/e＾2
>lim(n→∞)(1+1/n)＾n=e
lim(n→∞)(1-1/n)＾n=1/e
の公式を使います。
limit(n→∞)[{1-(1/n)}^n}]^2
=[limit(n→∞){1-(1/n)}^n}]^2
=(1/e)^2=1/e^2 と解答と同じ結果になります。

注）以下の類似の公式に注意して下さい。
lim(n→∞)(1+(1/n))＾n=e
lim(n→-∞)(1+(1/n))＾n=e
lim(n→∞)(1-(1/n))＾(-n)=e
lim(n→∞)(1+(1/n))＾(-n)=1/e
lim(n→∞)(1-(1/n))＾n=1/e
最後の公式の証明
y=(1-1/n)＾n
log y=n log{1-(1/n)}=[log{1-(1/n)}]/(1/n)
→[{1/(n^2)}/{1-(1/n)}]/(-1/n^2)=-1/{1-(1/n)}=-1(ロピタルの定理使用）(n→∞)
limit(n→∞)(log y)=-1
limit(n→∞) y=(1-1/n)＾n= 1/e

お礼

ご回答ありがとうございました！丁寧に解説して頂き、感謝です。

回答No.5

tarame

e の定義式　lim[h→0](1+h)^(1/h)＝e を使えばよいのでは？
(1)は、与式＝lim log[10](1+h)^(1/h)＝log[10]e
(2)は、-2/x＝h とおけば
　x→∞のとき h→0
　(1-2/x)^x＝(1+h)^(-2/h)＝{(1+h)^(1/h)}^(-2) より
　与式＝e^(-2)＝1/(e^2)

お礼

ご回答ありがとうございました！理解することができました。

回答No.4

aquarius_hiro

こんにちは。

ANo.2さん、ANo.3さんの計算で正しいですが、もう基礎的なところから説明してみますね。

(1)
log_{10}(A) （底が10のログ）と、log_e(A) の関係がわからないと、(1)はできないですよね。その説明をします。

log_e(A) = Y は、e^Y = A （10のY乗 = A ）ということですが、両辺の log_{10}をとると

log_{10}(e^Y) = log_{10}(A)
Y log_{10}(e) = log_{10}(A)
log_e(A) log_{10}(e) = log_{10}(A)

がわかります。ここで、log_{10}(a^b) = blog_{10}a という性質を使いました。

A=1+hとおいて、今の問題に適用すると、底をeに変えることができて、

[log_10(1+h)]/h = log_{10}(e)・log_e(1+h)/h → log_{10}(e)

ですね。

(2)
自然対数の底 e の定義式

lim_{n→∞}(1+1/n)^n = e … (a)

を適用することを考えます。

lim_{x→∞}(1-2/x)^x

は、n→∞のかわりに、x→∞となるので、(a)式とよく似ているのですが、(…)の中が1+1/xではなくて、1-2/xなので、単純にxをnに置換えたのでは、(a)式に等しくはなりません。（…）の中身 1-2/x が 1+1/n になるように置換えます。それは xを-2nとおくということなので、

(1-2/x)^x = (1+1/n)^(-2n) = [(1+1/n)^n]^{-2} …(b)

となります。ここで、A^{ab} = (A^{a})^{b} を使いました。

ここで、n→∞ とすると、[…]の部分が e に収束しますので、

(b)式→ e^{-2} = 1/e^2

が得られます。

お礼

より詳しく理解することができました。ありがとうございました！

回答No.2

exodus55

こんにちは。理系の大学生です。

(1)はlog10(1+h)の底の変換をして
log10(1+h)=[log(1+h)]/[log10]　　（←底はe）

これで質問者さんがおっしゃってる公式が使えますね。
答えは1/log10になりますが、また低の変換をすれば、質問者さんが言っている答えに一致します。合ってます！自信を持って！

(2)なんですが…h→∞とxの関係が…。hとxを間違えたとして、回答します。
質問者さんの言う極限公式を使うために(-2/x)を1/Aとでも置きます。
累乗のところはA×(-2)になります。以上より
lim(x→∞）[log(1+1/A)^A]^(-2)=1/e^2

だから質問者さんの答えで大丈夫です。分かりましたでしょうか?

お礼

ご回答ありがとうございました！理解することができました。

回答No.1

noname#46689

こんにちは。もう随分前に受験数学を終えてしまった者です。懐かしくてちょっと計算してみました。

（１）は解log10e　ってほんと？　単に無限大に発散しません？

（２）は解が求まりませんけど。変数の転記ミス？

数学は得意でしたが、何分昔のこと。おそらくやっていることがトンチンカンと思います…

お礼

ご回答ありがとうございました！