- ベストアンサー
e=e^1の値
定義(1) e^x=lim[n→∞](1+x/n)^n 定義(2) e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+... 定義(1)or(2)を採用したとき、 e=e^1の値を少数2桁まで求めよ。（注：eは無理数） ---------------------------------------------- 私は高校数学IIBまで受けていなかったので、無限級数等の言葉の意味がわからず、先日出された上の問題も解法が思いつきません。 先生の授業のみようみまねで、 (1+1/n)^nのn=1,2,3,4,5,,,の計算をしてみましたが、これが答えにどう繋がるのかもよくわかりませんでした。 せめて(1+1/n)^n～が上の問題とどう繋がっているのか教えていただきたいです。
- ume_poppo
- お礼率57% (41/71)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数3
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>(1+1/n)^n～が上の問題とどう繋がっているのか教えていただきたいです。 定義(1)でe=e^1を計算するには e^x=lim[n→∞](1+x/n)^n でx=1とすれば e^1=e=lim[n→∞](1+1/n)^n で計算できることになる。 後は、eの近似値が小数以下2桁目まで一致するには limの中の「(1+1/n)^n」の計算をして、nをいくつ以上にすれば 小数以下2桁まで正しく計算できるかということです。 つまり、e=2.718...を小数第3位以下を四捨五入して2.72とした場合 (1+1/(n-1))^(n-1)の四捨五入値<2.72 かつ (1+1/n)^nの四捨五入値≧2.72 を満たすnを求めれば良い。 小数第三位以下を切捨てる場合は、e=2.71として (1+1/(n-1))^(n-1)<2.71 かつ (1+1/n)^n≧2.71 を満たすnを求めれば良い。 という事になりますね。 実際に計算してみると 四捨五入を採用する場合なら 定義(1) x=1としてnを与えた時 e=2.71828≒2.72まで一致するnを見つけると n=413のとき(1+1/n)^n=2.7149982≒2.71 n=414のとき(1+1/n)^n=2.7150061≒2.72 となるのでn=414以上の項で小数以下2桁まで一致しますね。 定義(2) x=1としてnを与えた時 e=2.71828≒2.72まで一致するnは n=4のときΣ[k=0,4]1/k!=2.708≒2.71 n=5のときΣ[k=0,5]1/k!=2.7166667≒2.72 となるのでn=5の項までの和を計算すれば、2.72になり小数2桁まで一致。 「小数以下2桁まで一致する」ことが小数以下3桁目を四捨五入した結果が小数以下2桁まで一致するとするなら、上のnで良い。 しかし、小数以下3桁目以下を切り捨てて小数以下2桁まで一致するとするならe=2.71になるので、定義(1)でのn=164,定義(2)でのn=5となるね。
その他の回答 (2)
- gef00675
- ベストアンサー率56% (57/100)
解法もへったくれもありません。 （１）と（２）の二つの式は全然違う式ですが、実際に計算してみると、どちらも同じ値になるということを言っているのです。 不思議だと思いませんか？ なぜ同じになるのかを授業で説明してくれると思いますよ。
お礼
確実に私の勉強不足ですね。言われてようやくわかりかけました。 参考意見、ありがとうございました！
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>(1+1/n)^nのn=1,2,3,4,5,,,の計算をしてみましたが、 >これが答えにどう繋がるのかもよくわかりませんでした。 いや、実際に計算させるのがこの問題の意図だと思いますよ。 n をいくつまで計算すれば、小数点以下 2桁まで間違いなく求まるかを考えるのが大変だと思いますけど。
お礼
質問者の意図を推測さえしてませんでした。。 参考意見、ありがとうございました！
関連するQ&A
- 級数展開 剰余項 計算（評価）
級数展開 剰余項 計算（評価） e^xの巾級数展開について、 剰余項R(n+1)がlim[n→∞]R(n+1) = 0になれば、 e^x=Σ[n=0～∞]（（x^n）/（n!））と表せることは理解できました。 Rの係数？は実際（1/（(n+1)！））となるからe^xは巾級数展開可能 であると理解したのですが、e^xの場合lim[n→∞]R(n+1) は具体的に どのように計算（評価）されるのでしょうか？ また、剰余項に関して、 R(n+1)やR(x^(n+1))などと表記されるようですが、なにか 違いはありますか？ それぞれの表現について教えて頂けないでしょうか？ また、C^ω級は級数展開可能である関数を表す場合に用いられると 理解したのですが、C^ω級は無限級数展開でも有限級数展開 （有限級数展開の例が思いつきませんが・・・）でもどちらでも 使用して良いのでしょうか？ また、C^ω級はテーラー展開の場合（x=0で級数展開できない場合）でも 使用して良いのでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 無限等比級数の極限の問題です。
学校の問題集の問題なのですが。 次の命題の真偽を調べて下さい。偽のときはその反例をあげてください。 （注）{an}と{bn}は無限数列です １．lim_(x→∞){an}=+∞ , lim_(n→∞){bn}=0 ならば,lim_(x→∞){an}{bn}=0 解答では 偽で反例は {an}=2n ,{bn}=1/n となっているのですが どうしてなのでしょうか？ ２．lim_(x→∞){an}=+∞ , lim_(n→∞){bn}=＋∞ ならば、lim_(n→∞)({an}-{bn})＝0 この問題は解答では 偽で反例は{an}=ｎ,{bn}=n^2 となっています。 教えて下さい。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- f_n=g_n a.e on R^nとする。g_n→g(測度収束)ならばf_n→g(測度収束)を
次の問題で質問です。 [問]f_n=g_n a.e on R^nとする。g_n→g(測度収束)ならばf_n→g(測度収束)を示せ(f_n,g_n,gはルベーグ可測な関数)。 [証明] R^nでの殆どいたるところでf_n=g_nだというのだから零集合Zを除いたx∈Eではf_n(x)=g_n(x)という意味だと思います。 f_n,g_n,gをE⊂R^n上のルベーグ可測関数とする。 仮定より,0<∀ε∈R,0=lim[n→∞]μ({x∈E;|g_n(x)-g(x)|≧ε}) =lim[n→∞]μ({x∈E＼Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε}∪{x∈Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε})(但しZは零集合) =lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε})+μ({x∈Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε})) (∵測度の定義(可算加法性)) =lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε})+μ({x∈Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε})) (∵仮定「f_n=g_n a.e.」) =lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε})+0) (∵零集合の定義) =lim[n→∞]μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}+μ({x∈Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε})) (∵零集合の定義) ≧lim[n→∞]μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}∪{x∈Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε})) (∵測度の定義) =lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-g(x)|≧ε}+) 即ち, 0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-g(x)|≧ε})=0. ∴ {f_n}はgに測度収束する。 となったのですがこれで正しいでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学3の数列の極限 無限級数の問題がわかりません。
数学3の数列の極限 無限級数の問題がわかりません。 fn(x)={(tanx)^(2n+1)-(tanx)^n+1}/{(tanx)^(2n+2)+(tanx)^2n+1} (0<=x<π/2)とする。 f(x)=lim[n→∞] fn(x) を求め、関数y=f(x)のグラフの概形をかけ。 わかりません。。 お願いします！
- 締切済み
- 数学・算数
- 極限です。pert２・・・・
数列sin(^n)θの極限をもとめよただし-π/2≦θ≦π/2。 第n項が次の式で表される数列の極限を調べよ。 {r^(2n)-2^(2n+1)}/{r^(2n)+4^n} {a^(n+1)+b^(n+1)}/{a^(n)+b^(n)} ただしa,b共に正の定数 次の無限級数の収束発散を調べなさい。 ∞ Σ2/{√(n+2)+√n} n=1 |x|＜1/2のとき無限級数の和を求めよ。 1+3x+7x^2+15x^3+・・・・・+(2^(n)-1)x^(n-1)+・・・ lim[√{(1/x)+1}-√{(1/x)-1}] の極限値を求めよ。 x→+0 ｘ→∞のときf(x)=√(x^2 +1)-axが収束するような正の定数aの値とそのときの lim f(x)を求めよ x→∞ 以上です。おねがいします。 何度もごめんなさい。
- 締切済み
- 数学・算数
- 「e」が絡んだ不等式証明
「自然数nについて、次の不等式が成り立つことを求めよ。 n・log(n)-n+1 ≦ log(n!) ≦ (n+1)log(n+1)-n 」 という問題で、最初は素直に左辺-右辺≧0を使って示しました。 その後、別解として数学的帰納法を用いた証明に挑みました。 n=1のときは楽勝ですが、n=kで成り立つことを仮定した後の「n=k+1」のときに、式変形でつまずきました。今回の質問は、その最後の大小関係の評価についてです。（以下、式はn=k+1のときのもの） log{(k+1)!}-(k+1)log(k+1)+(k+1)-1 =log(k+1)+log(k!)-(k+1)log(k+1)+k ≧k・logk-k+1-k・log(k+1)+k =1-log(1+1/k)^k ・・・・・・・・・・・・(1) (1)をみた時、「あ、これってeの定義式に似てるな」と思い、もしかして (1)≧1-log(e)=0 ・・・・・・・・・・・・・(2) でも言えるのかと思ったのですが、 疑問I： だからといって果たして(2)で等号が言えるのか？ 疑問II：そもそも、lim[x→∞](1+1/x)^x=e は、eより大きい数からeに近付くのか？eより小さい数からeに近付くのか？そしてlim[x→-∞](1+1/x)^x=e では？ 上の疑問について、答が出せる方、宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
まったくわからなかったのに、段々わかってきました…！ わかりやすく教えていただき、ありがとうございました！