ニュートン方程式と、アインシュタイン方程式を微積分でつなぐ方法

質問

微積分を使って、ニュートンの方程式から、アインシュタインの方程式を導き出す展開方法があったとおもうのですが、どうすのでしたでしょうか？
アインシュタイン方程式から、ニュートン方程式かも知れません。
つまり、
ニュートン方程式と、アインシュタイン方程式を微積分でつなぐ方法ですね。

回答No.3

ominaesi55

E=mc^2 からニュートンの運動エネルギーを求める式のことではないでしょうか？

静止質量をm0,v/c=βとおいて　E=mc^2にm＝m0/(1-β^2)^(1/2)を適用して展開すると
E=m0c^2/(1-β^2)^(1/2)=m0c^2+1/2*m0v^2+3/8*m0*v^4/c^2+ ・・・
右辺の第一項が静止エネルギー,第二項がニュートンの運動エネルギーです。

お礼

＊ありがとうございます。
このあたりだと思います。
科学雑誌「Newton」の2010年5月号あたりの、
「アインシュタイン特集」で、
すっきりしたような、気がしました。
アインシュタインの、E=mc^2　と、
ニュートンの運動エネルギーの方程式
の関係式ですね。

回答No.2

noname#108554

どこから突っ込めばいいのか困るお礼ですが、
私にできる範囲で丁寧にお答えしますと、

>F = ma のユートンの方程式と、
>E = mc^2 のアインシュタインの方程式で、
>微分積分をつかって、２つをつなげる方法は、どうですか？

普通アインシュタイン方程式というと
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
を指します。

質問者さんにしたがって
E = mc^2をアインシュタインの方程式と呼ぶことにしましょう。
で、どうと言われましても・・・？

そもそもE = mc^2の式は、
E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^4（pは運動量）
の式でp=0としたものです。
要するに、静止している物体についての式です。
それとF = maをつなげと言われてもねぇ？？

（以下では、E = mc^2をアインシュタインの方程式と呼んでいることを考慮して、
一般相対論ではなく特殊相対論内で考えます。）
つまり、特殊相対論におけるF = maに相当する式を出してくれということなんでしょうか？
それなら、このへんでしょうか。
http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/4force.html

>「ニュートンの方程式は、アインシュタイン方程式の、
>日常生活レベルでは、近似的に正しい世界観に含まれている。」

なんか日本語が変ですが、
「特殊相対論（「一般」も含む。）はニュートン方程式の世界観を含む。」
なら正しい。

>「ニュートンの世界観は、アインシュタインの世界観の中に近似的に含まれている」

変な意味で「世界観」という単語を使っていたら別ですが、
普通の意味で正しい。

>「アインシュタインはニュートンの世界観を微分積分的に、拡張する世界観」

微分積分的に？？
ニュートンの世界観も、現在の状態が微少時間後の状態を決定するという意味で、
十分「微分的」なんですが。
また変な意味で使っているのでしょうか？
もしもそうならちゃんと言葉の定義をしましょう。

二言アドバイスするとすれば、
1.もっと勉強しましょう。
2.せめてgoogleは使えるようにしましょう。
ってとこでしょうか。

お礼

090402-
ありがとうございます。
http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/4force.html
このページあたりが、参考になると思います。

不勉強で、一度、数学の授業で先生が板書した内容を、
ノートしておいて、それが思い出せないでいるところです。
（その数式のノートがあれば、スッキリするのですが…）

＞「アインシュタインはニュートンの世界観を微分積分的に、拡張する世界観」
のところは、
「アインシュタインの世界観は、ニュートンの世界観を、拡張する世界観」
と、いえば、すっきりするでしょうか。

補足

＊　よく見える人に、見えているものも、
　見えていない人には、見えないもので、
　この溝はかなり深いらしい。

回答No.1

noname#108554

アインシュタイン方程式は重力場を決定する方程式ですが、
ニュートン方程式は粒子軌道を決める方程式ですから、
直接「つなぐ」のは無理です。

測地線方程式→ニュートン方程式
これなら出せます。
測地線方程式は以下のような式です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%AC%E5%9C%B0%E7%B7%9A
http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/formula.html
http://a.phys.nagoya-u.ac.jp/~taka/lectures/cosmology/webfiles/cosmology-web/node266.html
この式を、例えば、太陽系の惑星の軌道などに適用しようとすると、
ポスト・ニュートン展開
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E5%B1%95%E9%96%8B
だとか、一般にPPN形式
http://ja.wikipedia.org/wiki/PPN%E5%BD%A2%E5%BC%8F
を利用します。

お礼

＊ありがとうございます。
参考にさせていただきます。

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F = ma のユートンの方程式と、
E = mc^2 のアインシュタインの方程式で、
微分積分をつかって、２つをつなげる方法は、どうですか？

「ニュートンの方程式は、アインシュタイン方程式の、日常生活レベルでは、近似的に正しい世界観に含まれている。」
とか、
「ニュートンの世界観は、アインシュタインの世界観の中に近似的に含まれている」
とか、
「アインシュタインはニュートンの世界観を微分積分的に、拡張する世界観」
とか、
そういうお話になると思うのですが、
それを、＜数式を用いて＞、展開する方法は―、どうでしょう？