偏微分と独立変数についての質問
- 熱力学の偏微分で∂U(S,V)/∂Tについて考えます。
- 独立変数としてSとVを使って∂U(S,V)/∂Tを表すことができます。
- 質問として、SとVを独立変数として考えることができるのかという問いがあります。
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偏微分と独立変数
熱力学で ∂U(S,V)/∂T という偏微分を考えます。 ∂U(S,V)/∂T ＝ （∂U(S,V)/∂S）（∂S/∂T）＋（∂U(S,V)/∂V）（∂V/∂T） と書けることはわかりました。また、SとVが独立変数であることから ∂U(S,V)/∂T ＝ （∂U(S,V)/∂S）（∂S/∂V）（∂V/∂T）＋ … と書けないこともわかりました。では、 ∂U(S,V)/∂T ＝ （∂U(S,V)/∂S）（∂S/∂P）（∂P/∂T）＋ … とは書けるのでしょうか？ 私としては可能であると考えているのですが、正直あまり理解できていない状態です。どうかご教授下さればと思います。 また、上に付随で（というかこっちが核心かも^^;）質問なのですが、上ではSとVを独立変数と決めていますが、これは熱力学の命題だからそういったことが許されているのでしょうか？ 例えば、ラグランジアンはｑとｑdotを独立変数として考えますが、これは「今はこの二つをまったく独立と考えますよ」と定義した上での議論なのか、もしくは、それらが独立と考えられる条件の上での議論なのか、どちらなのでしょうか？前者であるならとてもスッキリ理解できるのですが。。。ラグランジュ形式は一般の力学運動を考えていると思うので後者ではないと信じたいのですが…（^^;; どうぞよろしくお願い致します。
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＞また、上に付随で（というかこっちが核心かも^^;）質問なのですが、上ではSとVを独立変数と決めていますが、これは熱力学の命題だからそういったことが許されているのでしょうか？ 一般にf(x,y)などと表記されるとき、ｘ、ｙは独立変数です。f(x,y)というのはｘとｙで表わされる関数という意味です。もし、ｘとｙが独立変数でなければ、例えばｙがｘで表せるとき、それはf(x)と表わします。なので、熱力学がどうこういう問題ではありません。 >∂U(S,V)/∂T ＝ （∂U(S,V)/∂S）（∂S/∂P）（∂P/∂T）＋ … とは書けるのでしょうか？ 書けますよ。SをPで媒介変数表示したものを微分しているだけなので何の問題もありません。ただ、このときPはVと独立しています。つまり、VをPで表せないということです。理由は先ほど述べた通りで、もしVをPで表わせてしまうと、SもVもPで表わすことができ、それはVをSで表わすことがきることを意味し、VとSが独立変数でなくなってしまうからです。
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ご回答ありがとうございます。 ＞一般にf(x,y)などと表記されるとき、ｘ、ｙは独立変数です。f(x,y)というのはｘとｙで表わされる関数という意味です。もし、ｘとｙが独立変数でなければ、例えばｙがｘで表せるとき、それはf(x)と表わします。なので、熱力学がどうこういう問題ではありません。 やはりそういうことですか～。確かに２つの引数が独立でないなら、一つの引数で書けますね。。 こんがらがっていたものがかなり氷解しました！ありがとうございました。また機会があればよろしくお願い致します。