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数学Aの問題です。
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まあ、n乗が出てくる時点で数学Aではないですが x,y,zの0でないもののうち2の指数の最小のものをNとすると、x/2のN乗、y/2のN乗、z/2のN乗のうち少なくともひとつは奇数となる。 ここまではわかりますね? ここで、奇数になるのがx/2^N(=aとします)である場合、y/2のN乗=b、z/2のN乗=cとすると a^n + 2*b^n = 4*c^n を満たします。しかし、a≠0と仮定すると、これは丸1を満たさないので、矛盾する。よって、a=0である。ということです。
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- mister_moonlight
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高校1年生(?)には、とても無理。無限降下法というのがある。 http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/50683351.html この問題は、無限降下法のサンプルに良く使われている。とても高校生に理解できるとは思われないが。 x^n+2y^n=4z^n で検索しても結構取り上げられている。
- handarin
- ベストアンサー率66% (10/15)
あらかじめ断っておきますが、高1の数Aの知識オンリーだとちょっと苦しいかもしれません。 Xのn乗=X^nとかく。掛け算記号×は省略 X,Y,Zいずれも0じゃないと仮定して矛盾を導きます。 n≧3のとき X^n+2(Y^n)=4(Z^n) が成り立つとする。 仮にXが奇数であるとすると、奇数+偶数=偶数となってしまい、矛盾してしまう。 したがってXは偶数である。そこでX=2xとおくと、(2x)^n=(2^n)(x^n)より (2^n)(x^n)+2(Y^n)=4(X^n) 両辺2で割って (2^(n-1))(x^n)+(Y^n)=2(X^n) となる。2^n÷2=2^(n-1)に注意 ここでYが偶数であると仮定すると、さっきと同様に矛盾なので、Yも偶数である。 そこでY=2yとおくと 2^(n-1)x^n+2^ny^n=2Z^n 両辺を2で割って 2^(n-2)x^n+2^(n-1)y^n=Z^n となる 同様の議論でZも偶数と分かり、Z=2zとおけば 2^(n-2)x^n+2^(n-1)y^n=(2^n)(z^n) 両辺を2^(n-1)で割って x^n+2y^n=z^n これはもとの式と同じである。 したがって上の議論を繰り返せばX,Y,Zは、何度でも2で割り切れることになってしまう これは矛盾である。 Xだけが0の場合、Yだけが0の場合なども、同じように出来ます。
補足
なるほど。そのやり方は分かりましたが、この回答の意味を教えて下さい。 導き出してx,y,zは2の倍数・・・・・丸1 x=2k,y=2m,z=2sとおいて題意の式に代入してそれを2のn乗で割ると、kのn乗+2掛けるmのn乗=4掛けるsのn乗。よってk,m,sは題意の式を満たすから、x,y,zが題意の式を満たせばx/2,y/2,z/2も題意の式を満たす・・・・・・丸2 仮定により、x,y,zのうち少なくともひとつは0でない。0でない整数はすべて、2のp乗×(2q-1)[p,qは整数で、pは0以上]で表される。よってx,y,zの0でないもののうち2の指数の最小のものをNとすると、x/2のN乗、y/2のN乗、z/2のN乗のうち少なくともひとつは奇数となる。 故に、x,y,zは、丸2により題意の式を満たすが、丸1を満たさないから矛盾する。 したがって、nが3以上の整数の時、題意の式を満たす整数x,y,zはx=y=z=0だけである。 後半意味分からないです
- owata-www
- ベストアンサー率33% (645/1954)
このままだと、丸投げ(禁止事項)も同然なのでヒントだけ X=a*2^b(aは2を因数に持たない)と置いてみるとか、もう少しうまいやり方もあるかもしれませんが
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補足
x,y,zの0でないもののうち,2の指数の最小のものをNとするとってどういういみですか?あと、x/2のN乗、y/2のN乗、z/2のN乗のうち少なくともひとつは奇数になるってどういう意味ですか?この質問が最後です。