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楕円の外周の計算方法
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横 2a，縦 2b (a>b) の楕円の周長 L は (1) L = 4 ∫{0～π/2} √{a^2 - (a^2-b^2)sin^2 θ} dθ ですが，これは初等関数では表現できません． そういうことで，(1)の本質部分 (2) E(k) = ∫{0～π/2} √{1 - k^2 sin^2 θ} dθ に楕円積分(正確には第２種楕円積分)という名前がついているくらいです． E(k) で表すなら (3) L = 4a E(k), k^2 = 1 - (b^2/a^2) ということですね． a,b を決めれば(1)あるいは(2)の積分の値は決まりますが， 具体的な値を知るには数値計算，あるいは楕円積分の表を見るより 仕方がありません． まあ，例えば三角関数で表現できたところで， 具体的値を知るには電卓叩くより仕方がありませんから 似たようなものです． sin k などの代わりに余りなじみのない K(k) になっているだけです． ちょいと数値計算してみたところ，a=8 cm，b=6 cm では (4) L = 40.4541 cm になります． 半径 a = 8 cm の円ですと周長は 2πa = 50.2655 cm， 半径 b = 6 cm の円ですと周長は 2πb = 37.6991 cm， ですから，当然ながら(4)の L は両者の間の値になっています． なお．楕円の面積は πab です．
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