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集合が等しいということ

初歩的な集合についての質問ですが……。 任意の集合をA,Bに対して (集合Xの要素数をn(X)で表すとします) n(A) = n(A∩B) かつ n(B) = n(A∩B) が成立するときはいつもA = Bとなる。と言われたのですが、 自分としては何か反例があるような気がしてなりません。 ネットで調べても A⊇B ∧ A⊆B ならば A = B というのしか出てこず、 上の要素数による証明に納得できません。 どう考えればわかりやすいでしょうか?

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.2

図を描いてみれば分かりやすいですよ。 マスターカードのロゴみたく、丸を二つ、多少重なるように描きます。 左の丸がA、右をBと仮定。 n(A) = n(A∩B) かつ n(B) = n(A∩B)という事は、図で言うと 左丸の中に存在する物の数=右の丸の中に存在する物の数=二つの丸のどちらか(両方にでも良い)の中に存在する物の数 という事になります。 左の丸には入っているが右の丸には入っていない領域をイ、両方の丸に入っている領域をロ、右の丸に入っていて左の丸に入っていない領域をハとします。 イとハが両方ともゼロの時のみしか、上記状態が成り立ちません。 上記の状態をイロハで表現するならば、 イ+ロ=イ+ロ+ハ=ロ+ハ となります。

Waime11
質問者

お礼

なるほど、よくわかりました! ありがとうございました!!

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その他の回答 (2)

  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)
回答No.3

>有限の場合のみでいいです。 であれば、成立するでしょう。証明中で「有限集合」である条件がいつ使用されたか考えて下さい。

Waime11
質問者

お礼

n(A)とか書いてる時点で有限なんでしょうか… 無限の場合は濃度を比較しないといけないんで アドバイスありがとうございました。

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  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)
回答No.1

要素数は有限の場合のみを考えているのですか?それとも無限集合も含めて?

Waime11
質問者

補足

有限の場合のみでいいです。 言葉足らずですいません^^;

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