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集合について。
Aを100以下の自然数の集合とする． また，50以下の自然数kに対し， Aの要素でその奇数の約数のうち最大のものが2k-1となるものからなる集合Akをとする． このとき,次の問いに答えよ. ①Akを求めよ． ②Aの各要素は， A1からA50までの50個の集合のうちのいずれか1つに属することを示せ． ③Aの部分集合Bが51個の要素からなるとき， y/xが整数となるようなBの異なる要素x.yが存在することを示せ． ④50個の要素からなるAの部分集合Cで， その中にy/xが整数となるような異なる要素x.yが 存在しないものを1つ求めよ.この問題をご教授頂けると幸いです。
- zasx1098
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そもそも、1から100までの自然数が、A(k)の中のどれに属するか、理解できていますか？例えば具体的に54とか96とかいった自然数は、A(k)の中のどれに属しますか？
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- tmppassenger
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(1) { (2k-1) * (2^m) | m は非負整数, m≦ (log(100) - log(2k-1)) / log(2) }。 言葉で言えば、A(k)は、『非負整数mを用いて (2k-1)* (2^m)とかけるような100以下の数全体からなる集合』。 (2) 100は A(13)に属する。100未満の自然数については、最大の奇数の約数は当然99以下なので、いずれかのA(k) (1≦k≦50）に属する。 (3) 鳩ノ巣原理から、A(k)たちの中で、Bの要素が2つ以上属するものが存在する。そのようなA(k)を一つ取り、A(k)に属するBの要素のうちの2つを、x, yとする。x>yならばx/yが、x<yならばy/xが整数となる。 (4) 2k-1はA(k)に属するので、各A(k)は空集合ではない。 又、A(k)に属するある数が50以下ならば、その2倍の数もA(k)に属するから、各A(k)に属する数の内最大の数は50より大きい。 Cを各A(k)の中の最大の数からなる集合とすれば、Cのどの2数x,yを取っても、x, yともに51以上100以下なので、x/y, y/xともに整数にならない。
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