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集合と写像

集合と写像の問題です。 A、B：集合、写像：ｆ、逆像：ｆ^-1において以下の性質を証明せよとの問題です。 ｆ(A∩B)⊂ｆ(A)∩ｆ(B) を証明しかつその逆ｆ(A∩B)⊃ｆ(A)∩ｆ(B)が成り立たないことを反例を立てて示せ。 ｆ(A∩B)⊂ｆ(A)∩ｆ(B)の証明は あるｘ∈A∩B⇒ｘ∈Aかつｘ∈Bである。 (A∩B)⊂A (A∩B)⊂B より ｆ(A∩B)⊂ｆ(A) かつ ｆ(A∩B)⊂ｆ(B) よって ｆ(A∩B)⊂ｆ(A)∩ｆ(B) で証明できてると思うんですがその逆の反例が思いつきません。 どなたかｆ(A∩B)⊃ｆ(A)∩ｆ(B) が成り立たないことを示せる方いらっしゃったらご教授願います。

  • Arder
  • お礼率50% (3/6)

みんなの回答

  • settheory
  • ベストアンサー率48% (13/27)
回答No.2

ｆが単射のときに、逆の方も成立することがよく知られています。（証明もすごく簡単です）どういう時に成立するかを考えると、必要な条件が出てきたり、成立しないケースを想定できたりするものです。

Arder
質問者

お礼

そのようですね。 先生と議論になり様々なケースが存在するようです。

  • kabaokaba
  • ベストアンサー率51% (724/1416)
回答No.1

＞あるｘ∈A∩B⇒ｘ∈Aかつｘ∈Bである。 これは不要．内容的には間違ってない式だけども 誤解を招くし，存在する意味はない． ＃そもそも「ある」が不要．どうしても書きたいなら ＃「任意の」の方が文脈上適切 >どなたかｆ(A∩B)⊃ｆ(A)∩ｆ(B) >が成り立たないことを示せる方いらっしゃったらご教授願います。 これはきわめて簡単 A={1} B={2} f(x)=1 とでもおけば f(A∩B)は空集合 f(A)=f(B)={1} こういう反例を作る問題は， 極端でかつ単純なケースを考えるのが定石

Arder
質問者

お礼

遅れましたが非常に助かりました。 おかげさまでなんとかなりました。

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