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合同式・・・。
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「b∈C(a)⇒C(a)=C(b)」を証明することは、b∈C(a)の条件下で、下記(1)(2)を証明することです。 (1)任意のｘについてx∈C(a)⇒x∈C(b)を証明します、するとC(a)⊆C(b)がいえます。 (2)任意のｘについてx∈C(b)⇒x∈C(a)を証明します、するとC(a)⊇C(b)がいえます。 (1)(2)から、C(a)⊆C(b)とC(a)⊇C(b)とが証明されると、C(a)=C(b)が成立します。
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- fushigichan
- ベストアンサー率40% (4040/9937)
こんにちは！ 証明の仕方は、まず集合C(a)の任意の要素ｘが集合C(b)の要素であることがいえれば、 C(a)⊆C(b) また集合C(b)の任意の要素ｙが集合C(a)の要素になっていることが言えれば C(a)⊇C(b)がいえます。 Ａ⊆ＢかつＡ⊇ＢならばＡ＝Ｂという定理があるので、上のことがいえれば C(a)=C(b)集合として等しいことがいえます。 さて、証明です。 C(a)=｛x|x∈Z,x≡a(mod n)｝において任意のｘをとってくれば 適当な整数ｐが存在し、 x=np+a とかけますね。 さて、今b∈C(a)とすると、 ｂは集合C(a)の要素ですから、適当な整数ｒが存在し b=nｒ+aとかけるはずです。 ここでC(b)=｛x|x∈Z,x≡b(mod n)｝ですからこの集合の任意の要素は 適当な整数ｑが存在して y=nq+b とかけることになります。さて、b=np+aとかけていましたから、ｙ⊆C(b)なる任意のｙに対して y=nq+b=nq+nｒ+a =n(ｒ+q)+a⊆C(a) 逆に、b=nｒ+a,a=-nｒ+bよりx⊆C(a)なる任意のｘに対して x=np+a=np+(-nr+b) =n(p-r)+b⊆C(b) がいえます。 以上のことより、C(a)⊆C(b)かつC(b)⊆C(a)がいえたので、C(a)=C(b) が証明された。
- uyama33
- ベストアンサー率30% (137/450)
ｎ∈N,a∈Z(ｎは1つに固定しておく) C(a)=｛x|x∈Z,x≡a(mod n)｝ これは、x-a が n で割り切れる。という意味です。 b∈C(a) とすると、Ｃ(b)⊆C(a) が成り立つことを示します。 x∈C(b) とすると、x-b=nk となり、 b-a=np なので x-a=（x-b）－（ b-a）= nk－np=n(k-p) となり、 Ｃ(b)⊆C(a) が分かる。 こんな調子でやってゆけばできます。
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