合同式についての理解できない部分
- 合同式についての理解できない部分があります。
- 合同式の公式を使って計算する際に、なぜ473^5を2×4 ≡ 3 (mod5)という形にしていいのか疑問です。
- 質問者は「くだらない質問かもしれませんが、よろしくお願いします」と述べています。
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合同式がわかりません
合同式について 473^5 ≡ 3^5 ≡ 3^3 × 3^2 (mod5) ここで 3^3 ≡ 27 ≡ 2 (mod5) 3^2 ≡ 9 ≡ 4 (mod5) より 473^5 ≡ 2×4 ≡ 8 ≡ 3 (mod5) よって473^5を5で割った余りは3である と書かれているのですが 理解できない部分があります。 a≡b (mod n), c≡d (mod n) のとき ac≡ bd (mod n) という公式を使って (3^3)*(3^2) ≡ 2*4 (mod 5) となる。 というのは教えてもらって理解できたのですが その後 473^5 ≡ 2×4 ≡ 3 (mod5) このような形にしていいのは何故なのでしょうか くだらない質問かもしれませんが よろしくお願いします。
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←A No.2 補足 そこですか！ 合同について、一般に、 A≡B (mod n) かつ B≡C (mod n) であれば、 A≡C (mod n) は成り立ちます。 これは、合同の定義が A≡B (mod n) ⇔ (A-B=nk となる整数 k が在ること) であるために、 A-B=nk となる整数 k が在り B-C=nj となる整数 j が在るならば、 A-C=n(k+j) であって k+j が整数だからです。 これを使って、 473^5 ≡ 3^3 × 3^2 (mod 5) と 3^3 × 3^2 ≡ 2*4 (mod 5) から、 473^5 ≡ 2×4 (mod5)。 この話は、本では ＞ a≡b (mod n), c≡d (mod n) のとき ac≡ bd (mod n) よりも前に出てくるはずなんですが。
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- kacchann
- ベストアンサー率58% (347/594)
＞という事をこれは表しているのでしょうか そうだよ。 合同式の記号「≡」 は 「余りについての等号記号「＝」そのもの」 だよ。(だって「あまりが等しい」ことを意味してるんだから) だから「＝」と同じように扱えばいいんだよ。 --- つまり… 473^5 ≡ 3^5 ≡ 3^3 × 3^2 (mod5)…(1) これはいいよね。 公式を使って (3^3)*(3^2) ≡ 2*4 (mod 5)…(2) これもいいよね。 あと、常識的(?)に 2*4≡8≡3(mod 5)…(3) これもいいよね。 (1)、(2)、(3)をつなげれば 473^5 ≡ 3^5 ≡ 3^3 × 3^2 ≡2*4 ≡8 ≡3(mod5) つまり合同記号をつかった"等式"は、 単に「あまりについての等式そのもの」だよ。
補足
ありがとうございます。 alice_44 さんへの補足のコピーになってしまうのですがすみません。 473^5 ≡ 3^3 × 3^2(mod 5) を 473^5 ≡ 2×4 (mod5) と置き換えるときには 何か公式を使っているわけではなく (3^3)*(3^2) と 2*4 が5を法として合同だから (3^3)*(3^2)と5を法として合同な473^5は 2*4とも5を法として合同である と考えることが出来ることから、というのが理由なのでしょうか？
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答中での問いに答えていないし、 貴方がどこを解らないのか、その補足では さっぱり判らないのですが… 補足後半に書かれた式の理解は、 それでよいと思います。 結局、何が質問したかったのでしょうね？
補足
合同式というものがあまり理解できていないのと 自分の頭の中が整理できていなく 回答の中の質問の意味がよくわかっていませんでした。 自分の中では答えたつもりだったのですが・・・ 「 (3^3)*(3^2) ≡ 2*4 (mod 5) と変形できたとき 473^5 ≡ 3^3 × 3^2(mod 5) を 473^5 ≡ 2×4 (mod5) と置き換えることが出来る 」 というのは (3^3)*(3^2) と 2*4 が5を法として合同だから (3^3)*(3^2)と5を法として合同な473^5は 2*4とも5を法として合同である と考えることが出来ることから 473^5 ≡ 3^3 × 3^2(mod 5) を 473^5 ≡ 2×4 (mod5) と置き換えることが出来る ということなのかどうかについて知りたいと思っています。 この変形にも何か公式が使われているのではないかと思い 質問させてもらいました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
3^5 ≡ 3^3 × 3^2 (mod5) と 3^3 ≡ 27 ≡ 2 (mod5) と 3^2 ≡ 9 ≡ 4 (mod5) と 3^3 × 3^2 ≡ 2*4 (mod 5) と が解ったとすると、 3^5 ≡ 2×4 (mod5) まで来たはずだけど、 あと解らないのは、 2×4 ≡ 3 (mod5) ですか？ 473^5 ≡ 3^5 (mod5) の方ですか？ 2×4 = 8 = 3 + 5×1 ≡ 3 (mod5) は、 mod の定義そのものみたいな話。 473^5 ≡ 3^5 (mod5) は、 473 = 3 + 5×94 ≡ 3 (mod5) より、 貴方が教わったという a≡b (mod n), c≡d (mod n) のとき ac≡ bd (mod n) を 繰り返し使って、 473^2 = 473 × 473 ≡ 3 × 3 = 3^2 (mod5)、 473^4 = 473^2 × 473^2 ≡ 3^2 × 3^2 = 3^4 (mod5)、 473^5 = 473^4 × 473 ≡ 3^4 × 3 = 3^5 (mod5) と導けます。
補足
ありがとうございます。 私がわからないのは 473^5 ≡ 3^5 ≡ 3^3 × 3^2 (mod5) ここで 3^3 ≡ 27 ≡ 2 (mod5) 3^2 ≡ 9 ≡ 4 (mod5) より 473^5 ≡ 2×4 ≡ 8 ≡ 3 (mod5) の 473^5 ≡ 2×4 ≡ 8 ≡ 3 (mod5) この部分です。 公式を使って (3^3)*(3^2) ≡ 2*4 (mod 5)を導くと (3^3)*(3^2) ≡ 2*4 (mod 5)だから 473^5 ≡ 3^5 の 3^5の部分を2*4と置き換えて 473^5 ≡ 2×4 (mod5) と考えることが出来て 2×4=8を5で割ると余り3だから 473^5も5で割ると3で余る という事をこれは表しているのでしょうか？
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