確率の問題（じゃんけん）

質問

確率の問題で困っています。

3人でじゃんけんをして、ちょうど2回目で1人の勝者が
決まる確率はいくらか。ただし、1度負けた者はその後
のじゃんけんはしないものとし、3人がグー、チョキ、
パーを出す確率はいずれも1/3である。

私の考え
2回目で1人の勝者が決まるケースは、△をあいことし、
△○、×○、××の3パターン。×○と××は表裏一体
なので、計算する必要があるのは△○と×○。

△○の計算は、△が9/27。○が3/3×2/3×2/3=4/9。

×○の計算は、×が2/3×3/3×3/3。○が3/3×2/3。

○や×の場合、勝者（敗者）の出す手が決まれば、
同時に残り者の出す手は限られるので、このよう
な式をたてました。

テキストの解説
△○の計算は、△が9/27=1/3。○が9/27=1/3。

×○の計算は、9/27=1/3。6/9=2/3。

いつものことですが、こう解けばいいのかもしれ
ない、ああ解けばいいのかもしれないと考え、ピ
ピーンとくるものがありません。勉強しても勉強
しても解けるようになりません…。

回答No.3

go272 · ベストアンサー

No1.の方も書いているように、すべての場合を書くのは非常に有用で強力な手段だと思われます。
その上で答えるならばNo.2の方の回答のようにＡが起こる場合の数をすべて挙げることで答えにたどり着けますし、
こちらの方が考えやすいと思います。

ですが、tarameさんのやった方法でも答えることはできます。
しかし今回のケースではミスが2つありました。
ひとつはご自分で気づかれたように　3/3×1/3×1/3=1/9　ということです。

ですが、もうひとつミスがあります。
○の部分の3/3×1/3×1/3=1/9という確率は「ある特定の人が勝者になる確率」です
（例えば3人にＡさん、Ｂさん、Ｃさんと名前をつけてＡさんが勝つ確率を考えてみてください。1/9になるはずです）

この問題では「誰が勝ってもいいから決着がつく確率」
を求めているので上の確率を3倍する必要があります。（3人分）
×については○と同じ。◎についても3/3×3/1×2＝6/9　となります。

お礼

ありがとうございます。もう一度問題に挑戦してみたところ、
次のような解き方になりました。

ステップ１：△○の場合

△　９／２７＝１／３

○　３／３×１／３×１／３＝１／９＋１／９＋１／９＝１／３

△○１／３×１／３＝１／９

ステップ２：×○の場合

×　３／３×１／３×１／３＝１／９＋１／９＋１／９＝１／３

○　３／３×１／３＝１／３＋１／３＝２／３

×○１／３×２／３＝２／９

１／９＋２／９＝１／３　解答・１／３

たいへんわかりづらい書き方になってしまいましたが、この式の
組み立て方であっていますでしょうか。

回答No.4

go272

>ステップ１：△○の場合
>○　３／３×１／３×１／３＝１／９＋１／９＋１／９＝１／３
ここの部分ですが、
(3/3)×(1/3)×(1/3)=(1/9)+(1/9)+(1/9)
は間違いですよね。
まず3/3って1のことだから
(3/3)×(1/3)×(1/3)=1×(1/3)×(1/3)=1/9
です。
で、この確率というのは「ある特定の人が勝つ確率」なので
「決着がつく確率＝三人のうち誰かが勝つ確率」を求めるために3つ足します。
それが
>１／９＋１／９＋１／９＝１／３
の部分に当たります。
これらをイコールでつなげてはいけません。

お礼

なんとか大丈夫そうです。
ご丁寧にありがとうございました!!

回答No.2

tarame

Ａが起こる確率＝(Ａが起こる場合の数)÷(すべての場合の数)です。
３人でじゃんけんする場合、
１人の手の出し方は３通りですから、(すべての場合の数)は３^3＝27通りです。
△(３人でアイコ)の場合は、
　(1)３人がすべて同じ手の場合が、３通り
　(2)３人がすべて異なる場合が、３!＝６通り　だから
　△の確率は　(3+6)/27＝9/27　です。
○(３人から１人が勝つ)の場合は、
　勝つ人(３通り)×勝つ手(※３通り)＝９通り　だから
　○の確率は　9/27　です。
　※勝つ手を決めると、負け手は自動的に決まりますね！
×(３人から１人が負ける)の場合は、○と同様にして　9/27 です。
ここで、注意しなければならないのは、
「△○」と「×○」の「○」は異なるということです。
　△○の○は、３人から１人が勝つ場合であり
　×○の○は、２人から１人が勝つ場合なのです。
　区別するために、×◎とすると
◎の場合は、勝つ人(２通り)×勝つ手(３通り)＝６通り　だから
　◎の確率は　6/9　となります。

お礼

ありがとうございます。

＞△の確率は　(3+6)/27＝9/27　
＞◎の確率は　6/9

ここは理解できました。

＞○の確率は　9/27　です。
＞×の場合は、○と同様にして　9/27

ここがネックです。勝つ手を決めると、負け手は自動的に決
まる、というのは自分で解いたときにもわかりました。よっ
て、式をたてるときには以下のようにしました。

○が3/3×2/3×2/3=4/9。
×が2/3×3/3×3/3。

例えば、
勝者がグーで勝つ場合、敗者は２人ともチョキですよね。
勝者がパーで勝つ場合、敗者は２人ともグーですよね。
勝者がチョキで勝つ場合、敗者は２人ともパーですよね。

…あれ？こう書いてると、自分の考えた式の間違いに気
付きました（＾＾；。しかし、となると、今度は

○は3/3×1/3×1/3=1/3。
×は1/3×3/3×3/3=1/3。

が正しいように思えてきてしまいました。

回答No.1

DONTARON

具体的な質問の回答ではありませんが
勉強しても勉強しても解けるようにならないのであれば
考えられるすべての場合を自分で紙に書き出してみた方がいいですよ。
最初は間違えたり時間がかかって大変かもしれませんが
そういう面倒な作業を何回もやっている方が結局はわかるようになります。
この場合であれば２７通りすべてを書き出してみた方がわかりやすいと思います。

お礼

ありがとうございます。

＞考えられるすべての場合を自分で紙に書き出してみた方がいい

そうですね。自分でもそのように考え、サイコロの問題などでは、
特に実践していました。

しかし、実際の問題は、条件ももっと複雑で、いざ式で解こう
とすると、どの式が適切かがわからず、解答に活かせないこと
のほうが多いのです。濃度や速さの問題は、ある程度定義式が
ハッキリしていますが、確立の問題はどのパターンの問題でど
の式を使えばいいかを見極めるのがとても難しいです。