確率：式はたてられたけど解けない問題

質問

解くための式をたてることはできるのに答えが出せない…という問題です。

問
３人でじゃんけんをして、ちょうど２回目で１人の勝者が決まる確率はいくらか。ただし、１度負けた者はその後のじゃんけんはしないものとし、３人がグー、チョキ、パーを出す確率はいずれも１／３である。

僕の考え
２回目で１人の勝者が決まるパターンは、
（☆）１回目→あいこ　２回目→１人が勝って２人が負ける
（♪）１回目→１人が負ける　２回目→１人が勝つ
の２パターン。

☆の計算
あいこになるには、グー、チョキ、パーをバラバラに出すか、３人とも同じものを出すかの２ケース考えられるため、これを求める式は、
３／３×２／３×２／３＝４／９

３人でじゃんけんをし、１だけが勝つのは、
（３／３×１／３×１／３）×３＝１／３

つまり、☆の確率は４／９×１／３＝４／２７

♪の計算
２人が勝ち、１人が負けるには、
（３／３×１／３×１／３）×３＝１／３

１人が勝ち、もう１人が負けるには
（３／３×１／３）×２＝２／３

つまり、♪の確率は１／３×２／３＝２／９

最後の仕上げとして、４／２７＋２／９＝…あれ？選択肢にない数字がでてしまう…。でも、見直しても式はちゃんとたてられていますよね。今回は、何が間違っているのでしょうか？？宜しくお願いします。

回答No.9

Ishiwara

♪の１/３は合っています。
☆の４/２７が違っています。
その前提となる「１回目あいこの確率」４/９が違っています。

このような問題は「Ａさんは常にグーしか出さない」という前提を設けるとラクになります。これでも「一般性を失わない」とみなされてＯＫとなります。

「Ａはグー」とすれば、１回目があいこになる確率は、(1)ＢＣともにグー、(2)ＢがパーでＣがチョキ、(3)ＢがチョキでＣがパーの３とおりですから、計３/９です。
ですから（４/９）×（１/３）ではなく、（３/９）×（１/３）となります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.8

arrysthmia

←No.6 補足
＞ ２人目の手を、１人目と同じもの＆別のものという２つのケースを想定して「３／３」にしたのだから、
＞ ３人目も、前の２人と同じもの＆別のものという２つのケースを想定して「２／３」にする必要がある
＞ のではないのですか？？

２人目の手を、１人目と同じもの＆別のものという２つのケースを想定した後に、
３人目も、前の２人と同じもの＆別のものという２つのケースを想定してしまったら、
１人目がグー、２人目もグー、３人目はパー　といったケースも勘定していることになりますが、
これは、アイコですか？

１人目がグー、２人目もグー　であれば、アイコになる３人目の手は、グーしかありません。
１人目がグー、２人目がパー　であれば、アイコになる３人目の手は、チョキだけです。
アイコがバラバラのパターンか、同じのパターンかは、１人目と２人目の手を指定した時点で決まっていて、
後から３人目の手によって変更することはできないのです。

２人目が１人目と同じものを出し、かつ、アイコになるような３人目の手の確率が p、
２人目が１人目と別のものを出し、かつ、アイコになるような３人目の手の確率が q であれば、
アイコになる確率は、(3/3)×(2/3)×p ＋ (3/3)×(1/3)×q です。
この問題では、たまたま p = q = 1/3 なので、1/3 で括って、
{ (3/3)×(2/3) ＋ (3/3)×(1/3) }×(1/3) と考えることもできます。

それを言葉で書けば、１人目、２人目がどんな手の組み合わせでも、アイコになるような３人目の手が
ひとつづつある　ということになるでしょう。 だから確率は 1/3。

p + q が登場する理由は無いし、根拠の無い計算をしてはいけません。

お礼

２人目の手を、１人目と同じもの＆別のものという２つのケースを想定した後に、
３人目も、前の２人と同じもの＆別のものという２つのケースを想定してしまったら、
１人目がグー、２人目もグー、３人目はパー　といったケースも勘定
していることになりますが、

１人目→グー　２人目→グー　　の場合は、３人目→グー
１人目→グー　２人目→チョキ　の場合は、３人目→パー

と、となるよう計算したつもりなのですが、この式ではできないのですか…。このテの問題は、わけて解くようにすればバッリチですね。ありがとうございました。

回答No.7

Tacosan

「1人目がグー&2人目もグー」とか「1人目がグー&2人目がパー」とかいうのは, 結局のところ (2人の場合に考えた) 「1人目がグー」とか「1人目がパー」と同じように, 「2つ以上の可能性が同時に発生する」ことはありえません. だから, 「別々に分けて計算しなければならない」のです.
逆にいうと, 「これらの場合をまぜて計算する」というのは「これらの場合が同時に発生することがある」 (かつそれらの全ての場合で「3人目があいこになる手を出す」確率が等しい) ということを念頭に置いていることを意味します.
で, 例えば (3/3)×(3/3)×(2/3) というのは, 「1人目と 2人目の手によらず, 3人目は 2/3 の確率であいこになる手を出せる」ということを表しています. これがおかしいことはほぼ明らかだと思うのだが, どうだろうか.

お礼

いまいちピンときませんが、それぞれのケースをわけて計算すればこの問題は解けた、ということですよね。

ありがとうございました。

回答No.6

arrysthmia

←No.3 補足
って、また、考え方を書かないで式だけポンと書いて…
と思ったら、No.4 補足に書いてありますね。

惜しい。

＞ １人目…パターン出す可能性があるから３／３。例えばグーを出したと仮定します。
＞ ２人目…グーを出す可能性・チョキを出す可能性・パーを出す可能性を持っているから３／３
＞ ３人目…１＆２人目がグーを出した場合、３人目も１＆２人目と同じもの、グーを出せばあいこになるので、
＞ 　　　　　まず１／３と考えられる。
＞ しかし、もし１人目がグーを出し、２人目がチョキを出した場合、３人目はパーを出さなければならない。
＞ 　　　　　つまり、１人目と２人目と違うものを出さなければならないので、１／３。

バラバラのパターンか、同じのパターンかは、２人目の出した手によってどっちか一方に決まります。
どっちのパターンでも、あいこになる３人目の手は、貴方が言うように、確率 1/3 ですから、
あいこになる確率は、結局 (１人目 3/3)×(２人目 3/3)×(３人目 1/3) ＝ 1/3 なのでした。

分けて考えた式の２人目の部分を括弧でくくって、
(3/3)×(2/3)×(1/3) ＋ (3/3)×(1/3)×(1/3) = (3/3)× { (2/3) + (1/3) } ×(1/3)
とすれば、この式が現われます。 2/9 と 1/9 を足すことは、了解しているのですよね？

＞ ３人目が何を出せばあいこになるのかは、この両パターンが存在するのです。
＞ よって、３／３×３／３×２／３と計算するべきだと考えました。

の部分がダウト。
折角３人目のところで分けて考えていた両パターンを、最後にまたゴッチャにしてしまいました。
１人目、２人目の手を指定すると、パターンは、もうどちらか一方しか起こりえないのです。
最後までちゃんと考えられずに、途中で頭がボンヤリしてしまうようなら、
言葉で考えていないで図にしたほうがよい。A No.1 が参考になるでしょう。

お礼

ありがとうございます。

＞ 2/9 と 1/9 を足すことは、了解しているのですよね？
ここはＯＫです。

＞折角３人目のところで分けて考えていた両パターンを、最後にまた＞ゴッチャにしてしまいました。
＞１人目、２人目の手を指定すると、パターンは、もうどちらか一方＞しか起こりえないのです

えぇーっと、ここがよくわからないのですが。なんでゴッチャにしてはいけないのですか？？式をたてる時、３つとも一緒のパターン、３つともバラバラのパターンの２通りあるから、それをそれぞれ一緒にして式にするということも可能ですよね（３/３×３/３×２/３）。

確かに、わけてたてた式(3/3)×(2/3)×(1/3) ＋ (3/3)×(1/3)×(1/3) だとスムーズに解けるのですが、なぜゴッチャにしては「いけない」のかがいまいちピンときません…。

＞１人目、２人目の手を指定すると、パターンは、もうどちらか一方＞しか起こりえないのです

とありますが、２人目の手を、１人目と同じもの＆別のものという２つのケースを想定して「３／３」にしたのだから、３人目も、前の２人と同じもの＆別のものという２つのケースを想定して「２／３」にする必要があるのではないのですか？？

回答No.5

Tacosan

1人目はまあどうでもいいとして, 2人目が「1人目と同じ手を出した場合」と「1人目と違う手を出した場合」は排反でしょ? だから, ここで分けて考えなければなりません.
(3/3)×(3/3)×(2/3) という計算をしたいなら, 「3人目は 1人目, 2人目の手とは関係なく 2/3 の確率であいこにできる」という事実が必要です. これをどのように正当化しますか?
あなたのやったことを 2人の場合でもっと極端にすると, 次のようになります:
１．1人目はどの手も出す可能性があるから 3/3.
２．2人目は「1人目がグーを出したとき」に「グーを出す」 (1/3),
「1人目がパーを出したとき」に「パーを出す」 (1/3),
「1人目がチョキを出したとき」に「チョキを出す」 (1/3)
の場合にあいこになるから 3/3.
つまり (3/3)×(3/3) = 1 の確率であいこになる... どこがおかしいか, 理解できますか?

お礼

ありがとうございます。

＞だから, ここで分けて考えなければなりません.
これです。これがわからないのです。それぞれのパターンを含めて一緒に計算することも可能なのに、なんで分けなければ「ならない」のかがわからないのです。

＞あなたのやったことを 2人の場合でもっと
＞２．2人目は「1人目がグーを出したとき」に「グーを出す」
＞(1/3),
＞「1人目がパーを出したとき」に「パーを出す」 (1/3),
＞「1人目がチョキを出したとき」に「チョキを出す」 (1/3)
＞の場合にあいこになるから 3/3.

おのおのの１／３を足さなければ解決すると思います。なぜなら、確率の上では１人目は３／３でも、実際に出すのは、３つのうち１つだけなのですから、２人目が出すのも１／３のままでよいはずではないかと思います。

回答No.4

Tacosan

※2 のところから既に雑です. ここは, 2人目が 1人目と同じ手を出したかどうかで分けて考えないとダメです.
さらに 3人目のところで「※３…3人目は、※１、２と同じものか、※２が出していないものの可能性があるので２／３。」と言われてますが, 1人目がグー, 2人目がパーを出したときに「※１、２と同じもの」って何ですか?

お礼

ありがとうございます。

＞分けて考えないとダメです.

・バラバラの場合
３／３×２／３×１／３＝６／２７→２／９
・同じ場合
３／３×１／３×１／３＝３／２７→１／９

２／９＋１／９＝３／９→１／３　おぉ。確かにこの計算方法だと
１／３になりますね。しかし、なぜ分けて考えなければならないのかが疑問です。一緒にやってはいけない理由があるのかと考えても、思いつかないのですが…。

「※３…3人目は、※１、２と同じものか、※２が出していないものの可能性があるので２／３。」と言われてますが, 1人目がグー, 2人目がパーを出したときに「※１、２と同じもの」って何ですか?

１人目…パターン出す可能性があるから３／３。例えばグーを出したと仮定します。

２人目…グーを出す可能性・チョキを出す可能性・パーを出す可能性を持っているから３／３

３人目…１＆２人目がグーを出した場合、３人目も１＆２人目と同じもの、グーを出せばあいこになるので、まず１／３と考えられる。

しかし、もし１人目がグーを出し、２人目がチョキを出した場合、３人目はパーを出さなければならない。つまり、１人目と２人目と違うものを出さなければならないので、１／３。

３人目が何を出せばあいこになるのかは、この両パターンが存在するのです。よって、３／３×３／３×２／３と計算するべきだと考えました。

回答No.3

arrysthmia

どこで間違えたかと言えば、

＞ 求める式は、３／３×２／３×２／３＝４／９

の箇所ですが…。
最大の問題点は、見直しをしても、これが自力で発見できなかった理由
ではないでしょうか。

この式に現われる ３／３, ２／３, ２／３ が夫々何を表し、
掛け合わせることで何が求まるのか、
他人に説明するように、ひとつひとつ自分に語りかけてみましたか？
答案にいちいちそこまで書く必要は無い場合も多いと思いますが、
「見直し」の際には、それが一番大切なことです。

「ああ、これがアイコの確率だったな。下の１／３を掛ければ、☆の確率が出るな。」
といって眺めただけでは、ちっとも見直したことにならない訳です。

お礼

ありがとうございます。

もう一度考え直したら、今度は
３／３×３／３×２／３になりました。

でも、やっぱり１／３にはなりませんが、なぜでしょうか？？

回答No.2

Tacosan

「1回目であいこになる」ときの確率が間違ってます. 4/9 ではなく 1/3 にならないとだめ. その式の意味を説明してみてください.

お礼

ありがとうございます。

もう一度自分で考えたのですが、今度は
３／３×３／３×２／３になってしまい、やはり解けませんでした。

あいこになる可能性としては、
全員が同じものをだすケース「グググ、パパパ、チチチ」と、
バラバラのケース「グパチ、グチパ、チグパ、チパグ、パグチ、パチグ」です。これを計算として求めるには、

３／３（※１）×３／３（※２）×２／３（※３）＝２／３

※１…1人はグー・パー・チョキ、全て出す可能性がある。
※２…2人は※１で出たものと同じもの、もしくは残りの２つの可能性があるので３／３。
※３…3人目は、※１、２と同じものか、※２が出していないものの可能性があるので２／３。

計算するとやはり１／３にはならないですよね…？

回答No.1

opechorse

冷静に考えてみると、このぐらいだと樹形図使ったほうが分かりやすいのですが
PC上なのでとりあえず考えて見ます
打つのが大変なので
パー:A　グー:B チョキ:Cとします

質問の☆
1回目　
ジャンケンの種類は27通り
あいこは　AAA、BBB、CCC、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA
9通りなので9/27=1/3
2回目　同じく種類は27通り
一人勝ちは　ABB、BAB、BBA、BCC、CBC、CCB、CAA、ACA、AAC
9通りなので　9/27=1/3
これの掛け算なので　1/3*1/3=1/9

♪の場合
3人のどれの人が買ったかまで考慮すると
とりあえず、1回目が
AAB、ABA、BAA、BBC、BCB、CBB、CCA、CAC、CCA
9通りなので　9/27=1/3

2回目は　全とおりが9通り
AB、BC、CA、BA、CB、ACの6通り
6/9=2/3
これの掛け算なので
1/3*2/3=2/9

☆＋♪から
1/9+2/9=1/３　
これであっていますか

お礼

ありがとうございます。

テキストの正解と一致しています！すごいですねー（@_@;）
しかし、なぜ計算したときと違ってしまうのかが疑問です。