流体力学におけるせん断変形率について

質問

流体力学において粘性についての話が出てきますが、３次元の応力テンソルを考えた時に、せん断応力を以下のように書くことがあるかと思います。
τxy＝μ(∂u/∂y)

これについてはなんとなくわかるのですが、せん断変形率を用いてせん断応力を以下のように表す時についてがよくわかりません。
τxy＝μ((∂v/∂x)+(∂u/∂y))

せん断変形率は「３次元で考えている時にそのせん断方向を作り出すすべての変化率」と本で読んだのですが、いまいちよくわかりません。

τxyを表すのにτyxが必要なのはなぜでしょうか？
対角テンソルの関係があるためでしょうか？
また、図形的に考えた時にどのような歪み方をするのでしょうか？

回答をよろしくお願い致します。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

＞３次元の応力テンソルを考えた時に、せん断応力を以下のように書くことがあるかと思います。τxy＝μ(∂u/∂y)
　そうでしたっけ？。もう一回、流体力学の本を読んでみます。

＞図形的に考えた時にどのような歪み方
　長方形の左上隅の点を右に押して、平行四辺形に変形させたのが、せん断変形のイメージです。

＞τxy＝μ((∂v/∂x)+(∂u/∂y))は何故？
　上記の変形は、変形なので平行移動と剛体回転モードを含んでいません。実際には、これらのモードが加わります。すると、上記平行四辺形の左下隅点を中心に、任意の角度だけ回転させたようなイメージになります。このとき、もとの長方形と比較して、頂点角度がどれだけ潰れたかを計算すると、ちょうど(∂v/∂x)+(∂u/∂y)になってます。

＞τxyを表すのにτyxが必要なのはなぜ？
　τxy＝μ((∂v/∂x)+(∂u/∂y))が定義だと思ってました。なので私にとってはτxy＝τyxです。これだとせん断応力の共役性が保たれて、偶力の釣り合いが取れるので、非常に納得できるのですが・・・。

お礼

回答ありがとうございます。

要は、せん断変形をした時に生じる変化率すべてを足したものがせん断変形率であり、それを式で表すとτxy＝μ((∂v/∂x)+(∂u/∂y))になるということでしょうか。