- ベストアンサー
周回積分がわかりません・・・
ベクトルAがA=i(x-y)+j(x+y)のとき周回積分∫A・dsを求めよ。i、jはベクトル、dsのsは微少変位ベクトル。 積分路Cはy=2x^2とy=2xで囲まれる周回路とする。 ヒントが与えられていて、「グラフを書くとxに関して範囲がわかります。また、dxとdyの関係は・・・」というヒントです。 僕的には、xに関してだけではなくyに関しても範囲はわかると思うのですが、yの範囲は使わないのでしょうか？ 詳しい方、お教え願います。
- likeacar5417
- お礼率40% (18/44)
- 物理学
- 回答数3
- ありがとう数5
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
時計回りか反時計周りかによって、答えが変わるような気がしますが、 まあそれは置いておいて・・・。 ds=idx+jdyと、y=2x上なら、y=2xとdy=2dxを代入すれば普通の積分に変わるので、それを計算すれば解けます。yの範囲は使わなくても解けますね。 参考までに書くと、y=2x上なら、 ∫A・ds=∫(i(x-y)+j(x+y))(idx+jdy) =∫(x-y)dx+∫(x+y)dy ですね。
その他の回答 (2)
- looker1986
- ベストアンサー率48% (30/62)
周回積分の記号は周回積分ではなくなった時点ではずします。 つまりy=2x^2とy=2xで囲まれる周回路上の周回積分を、y=2x^2,(0→x→1)とy=2x,(0→x→1)上の線積分に分割するときに外します。
お礼
度々の質問に回答していただき、ありがとうございました。 理解できました！
- looker1986
- ベストアンサー率48% (30/62)
いえ、y=2x^2なら、xで微分して、dy/dx=4xなので、dy=4xdxとなります。実際にはy=2x^2から直接、積の微分公式を使ってdy=4xdxが導かれます。 別の考え方だと、y=2x^2の両辺をtで微分して、dy/dt=4xdx/dtなので、両辺にtを掛けて、dy=4xdxと考えても良いかもしれません。 数３でやった置換積分の問題と言えば分かりやすいでしょうか。
お礼
なるほど。 ということは、yに2xを代入しxが1～0で積分したものと、yに2x^2を代入しxが0～1で積分したものを足せばよいということですね。(分数が出てキレイな数字にはならなそうです・・・笑) 周回積分の記号はずっとつけたままでないといけないのでしょうか？ 再度の質問すみません。
関連するQ&A
- 累次積分に関しての質問です。
回答者の皆様にはいつもお世話になります。 ∫∫(x+y)dxdy 積分範囲 x≧0, y≧0, 1/2≦x+y≦1 を累次積分するときですが、下図の様にグラフで考えると、 1/2-x≦y≦1-x, 0≦x≦1と考えてよろしいのでしょうか？ それとも、点(0,0) (1,0) (0,1)の大きい三角形の積分から、 点(0,0) (1/2,0) (0,1/2)の積分を引く形、つまり {∫[0 1]dx∫[0 (1-x)](x+y)dy}-{∫[0 (1/2)]dx∫[0 (1/2-x)](x+y)dy}と表した方が良いのでしょうか？ ご指導願います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分について
大学の微分積分のテストが追試になってしまい勉強中なのですが、広義積分が良くわからなくって困ってます。どなたかコツみたいなものを教えていただけないでしょうか？（正方形領域や円領域に簡単に近似できるものはわかります。） 例えば、次のような問題がよくわかりません。 ・∬e^(y/x) dxdy D={(x,y)|0＜x≦1,0≦y≦x^2} ・f(x,y)=2(x-y)/(x+y+a)^3,(a＞0)に対して次の値を求めよ。 ∫dx∫f(x,y)dy , ∫dy∫f(x,y)dx (積分範囲はすべて0～∞) どなたか解き方のヒントでもいいのでください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 累次積分の順序変更
累次積分の積分順序の変更 累次積分 ∫（１→２）ｄｙ∫（ｙ－１→ｙ＋１）ｆ（ｘ、ｙ）ｄｘ の積分順序を変えよ 1≦ｙ≦2 y-1≦x≦y+1 だから。 xy平面にグラフを書く。 すると平行四辺形がかけました。 ↑の累次積分ではｘの積分→ｙの積分の順序なので ｙの積分→ｘの積分に順序を変えます。 以上からグラフの形より積分を３つに分けて ｛∫（０→１）ｄｘ∫（１→ｘ＋１）ｆ（ｘ、ｙ）ｄｙ｝＋｛∫（１→２）ｄｘ∫（１→２）ｆ（ｘ、ｙ）ｄｙ｝ ＋｛∫（２→３）ｄｘ∫（ｘ－１→２）ｆ（ｘ、ｙ）ｄｙ｝ このようになりました。 わざわざ３つにわける必要はなかったでしょうか？ そもそもやり方はあってるのでしょうか。。。 どなたか教えていただけないでしょうか！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二重積分の解法
次の問題の解き方に悩んでいます。 ∫∫ (x^2 + y^2) dxdy （ただし、 x^2 + y^2 ≦ 1） この式を自分なりに下記のように解いてみました。 dyは-(1-x^2)^1/2 ～ (1-x^2)^1/2、dxは-1～1の積分範囲としました。 ∫ dx ∫ dy = ∫ 2(1-x^2)^1/2 dx = 2[ 1/2 ( x(1-x^2)^1/2 + arcsin x )] （ここでdxなので[ ]内の積分範囲-1～1） = π/2 - (-π/2) = π としてみました。しかし、問題集では答えがπ/2となっています（解法は載っていない）。 上の解法のどこ（積分範囲？）が誤っているのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分計算がわかりません
微分方程式の問題で (x+y)dy/dx=3x+3y+1 の一般解を求めたいのですが 自分がわかった部分は Y=x+y・・・(1)とおいて 両辺をxで微分して dY/dx=1+dy/dx・・・(2) となるので(1)(2)から dY/dx=(4Y+1)/Yになって Y/(4Y+1)dY＝dx で両辺を積分すれば求まると思ったのですが 左辺の積分がうまく出来ません また、ここまでの式変形がすでに間違えているのでしょうか
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 合成関数の積分
こんにちは。積分法に関する質問です。 gが(a,b)において連続[a,b]において微分可能とし、g´(x)＞0で、fもgの値域においては連続とするとき ∫f(g(x))g´(x)dx(積分範囲はaからb)=∫f(y)dy(積分範囲はg(a)からg(b))が成り立つことを示し、(Fоg)´(x)を計算せよという問題です。((Fоg)は合成関数) 今ヒントが与えられていて g(a)≦y≦g(b)において F(y)= ∫f(t)dt(積分範囲はg(a)からy)と置く。とあるのですが、このヒントをどう使うのかが分かりません。 それと(Fоg)´(x)の計算もお手上げです。 どなたかヒントよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平面スカラー場の線積分について
x-y 平面上の領域 D で関数 f(x,y) が定義され、D 内にある平面曲線 C を x = x(t), y = y(t) (a ≦ t ≦ b) ・・・・・・・ (#0) で表わすとき、この「曲線 C に沿った線積分」を線素 ds = √(dx^2 + dy^2) = √( (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 ) dt を使って ∫_C f(x,y) ds = ∫[a,b] f( x(t),y(t) ) √( (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 ) dt ・・・・・・・ (#1) と定義する。 (#1)が「曲線 C に沿ってできる」x-y 平面に垂直なカーテン状の曲面の面積を表すことはわかりやすいのですが、ちょっとわかりにくいのが「曲線 C に沿ってできる x に関する」線積分 ∫_C f(x,y) dx = ∫[a,b] f( x(t),y(t) ) dx/dt dt ・・・・・・・ (#2) の定義です。もし、(#0) の曲線 C の y と x が一対一に対応していたら、(#2) の線積分は (#1) の曲面を x-z 平面に投影した図形の面積を表すと解釈してよいのでしょうか。 ベクトル解析の参考書を2冊持っているのですが、そんな説明はどちらの参考書にもないので心配なのです（笑）。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。 反時計回りで積分だったと思います y=2x^2上だとdy=2d^2x（dy=2dx^2？）を代入すればいいのでしょうか？