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二重積分の解法
次の問題の解き方に悩んでいます。 ∫∫ (x^2 + y^2) dxdy (ただし、 x^2 + y^2 ≦ 1) この式を自分なりに下記のように解いてみました。 dyは-(1-x^2)^1/2 ~ (1-x^2)^1/2、dxは-1~1の積分範囲としました。 ∫ dx ∫ dy = ∫ 2(1-x^2)^1/2 dx = 2[ 1/2 ( x(1-x^2)^1/2 + arcsin x )] (ここでdxなので[ ]内の積分範囲-1~1) = π/2 - (-π/2) = π としてみました。しかし、問題集では答えがπ/2となっています(解法は載っていない)。 上の解法のどこ(積分範囲?)が誤っているのでしょうか?
- ilf
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- 数学・算数
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質問者が選んだベストアンサー
この問題は、(x,y)→(r,θ)と変数変換すれば解けます。 x^2+y^2=r^2 , dxdy=rdrdθ 積分区間 0≦r≦1 , 0≦θ≦2π で解いてみてください。答えはちゃんとπになります。 あなたの解法がよくわかりませんでした。 ∫∫ (x^2 + y^2) dxdy ではなく∫∫dxdyを計算して・・・? あなたの解法のどこが間違っているかが気になるのでしたら、解法の意図をもう少し書いてもらえますか
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- Milk2005
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ANo.#1です。 ANo.#4さんの指摘どおり、πというのは単なる書き間違いでした。計算するとπ/2になります。 書き間違いによって混乱させてしまってすみませんでした。
- oyaoya65
- ベストアンサー率48% (846/1728)
A#1さんのの指摘通りで 質問者さんの解答は ∬D (1)dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2≦1} の積分をしていることになります。 ∬D (x^2+y^2)dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2≦1} の積分の方法はA#1さんの極座標への変数変換の方法が最もオーソドックスなやり方ですね。 つまり積分は ∬D' r^3 drdθ, D'={(r,θ)|0≦r≦1,0≦θ≦2π} =2π∫[0,1] r^3 dr =2π*(r^4)/4|[0,1] =π/2 となりますね。 A#1さんの回答の答えのπは単純ミスで 質問者さんの質問の問題集の答えのπ/2が正しいですね。
お礼
極座標を使った解法のご説明ありがとうございます。 A#1さんとともに、大変参考になりました。
すいません。下で書いたんですが 2(1-x^2) = x^2 + y^2だと思いましたが、原文をみると、 ^1/2が。。。 ということで、よくわかりません。ごめんなさい。
2(1-x^2)^1/2=x^2 + y^2 としてるとこ? これだとx^2=y^2の積分です。
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お礼
極座標に変換すればスマートなやり方になるんですね。 よくよく考えてみれば、私の方法では x^2+y^2 を積分してることになってませんね。 何か果てしなく勘違いをしてたようでした。 とても参考になりました。ありがとうございます。