２重積分問題の解法を教えてください。

質問

いつも積分を解きますが、今回２重積分の解法お願いします。
質問はそのとうりです。

積分範囲Dを図示し、次の２重積分の値を求めよ

　　　∬D　y log x dxdy 　　　　D= {(x,y) 0< y < x^2 , 1 < x < e }

回答No.1

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∬[D]　y log(x) dxdy , D= {(x,y) 0< y < x^2 , 1 < x < e }
=∫[x:1,e] log(x) dx ∫[y:0,x^2] y dy
=∫[x:1,e] log(x) dx [y^2/2][y:0,x^2]
=∫[1,e] (x^4/2)log(x) dx
=(1/2)∫[1,e] (x^4)log(x) dx
=(1/2){[(x^5/5)log(x)][1,e]-∫[1,e] (x^5/5)(1/x)dx}
=(1/2){(e^5/5)log(e)-∫[1,e] (x^5/5)(1/x)dx}
=(1/10){e^5-∫[1,e] x^4 dx}
=(1/10){e^5-[x^5/5][1,e]}
=(1/10){e^5-(1/5)e^5+(1/5)}
=(4e^5 +1)/50