２重積分∫(0→1)∫(2→3)log(x + y)dxdy

質問

２重積分∫(0→1)∫(2→3)log(x + y)dxdyについてです。
計算し答えは合っていたのですが、自分の回答に自信がなく質問させていただきました。

∫(0→1)∫(2→3)log(x + y)dxdy
=∫(0→1){[(x + y)log(x + y)](2→3)-∫(2→3)(x + y)/(x + y)dx}dy

という形にしたのですが、問題ないでしょうか？

回答No.1

noname#50894 · ベストアンサー

元の積分
>∫(0→1)∫(2→3)log(x + y)dxdy
から推測すると、2≦x≦3,0≦y≦1ということでしょうね。

∫log(x+y)dx=(x+y)log(x+y)-(x+y)+(yに関する項)
として問題ないですね。
[最後の(yに関する項)は、以下の積分で相殺される]

∫(2→3)log(x + y)dx
={(3+y)log(3+y)-(3+y)}-{(2+y)log(2+y)-(2+y)}
=(3+y)log(3+y)-(2+y)log(2+y)-1

ですね。

このあと
∫(0→1){(3+y)log(3+y)-(2+y)log(2+y)-1}dy
を求めれば良いと思います。

ちなみに、積分定数を省略すると、
∫(3+y)log(3+y)dy=(1/2){(3+y)^2}log(3+y)-(1/4){(3+y)^2}
∫(2+y)log(2+y)dy=(1/2){(2+y)^2}log(2+y)-(1/4){(2+y)^2}