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∬1/√(x^2+y^2) dxdy

∬1/√(x^2+y^2) dxdy D:0≦x≦y≦1  重積分する問題です。 y=xsinθで置換して考えると ∬1/cosθ dθdxとなります。 これを計算していくととてもややこしくなってしまい、うまく解を求められません。 とても困っていますので解ける方は解き方を教えて頂きたいです。ちなみに答えはlog(1+√2)です。

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回答No.1

与式 = ∫[0,1]dy ∫[0,y] dx/√(y^2 + x^2) ですから、 x = y*tanθとおくと 0≦x≦y から、0≦θ≦π/4、dx/dθ = y/(cosθ)^2 √(y^2 + x^2) = √{y^2 + y^2*(tanθ)^2} = y√{(tanθ)^2 + 1} = y/cosθ だから、 ∫[0,y] dx/√(y^2 + x^2) = ∫[0,π/4]{y/(cosθ)^2}dθ/{y/cosθ} = ∫[0,π/4]dθ/cosθ と、質問者さんの挙げられた式がでてきますが、y=x*sinθって、タイプミス? ここで、cosθを、分子・分母にかけると、 ∫[0,π/4]dθ/cosθ= ∫[0,π/4]cosθdθ/(cosθ)^2 sinθ = t とおくと、tの範囲は、0~1/√2、 dt/dθ = cosθより、dt = cosθdθ (cosθ)^2 = 1 - (sinθ)^2 = 1 - t^2 なので、 ∫[0,π/4]cosθdθ/(cosθ)^2 = ∫[0,1/√2]dt/(1-t^2) = ∫[0,1/√2]dt/(1-t)(1+t) = ∫[0,1/√2](1/2){1/(1-t) + 1/(1+t)}dt = (1/2)[-log(1-t) + log(1+t]_[0,1/√2] = (1/2)[log{(1+t)/(1-t)]_[0,1/√2] ここで、(1 + 1/√2)/(1 - 1/√2) = (√2 + 1)/(√2 - 1) = (√2+1)^2 なので、 (1/2)[log{(1+t)/(1-t)]_[0,1/√2] = log(√2 + 1) よって、∫[0,1]dy ∫[0,y] dx/√(y^2 + x^2) = ∫[0,1]dy ∫[0,y] dx/√(y^2 + x^2) = log(√2 + 1) * [y]_[0,1] = log(√2 + 1) となります。 高校生向きに、丁寧に書いたので、手順長めですが、大学生なら、あちこち端折れるはず、 がんばってください。

ti-oka
質問者

補足

早速詳しい解説ありがとうございます。 本当に助かりました(^^)/ あとy=xsinθはタイプミスで、y=xtanθでした。

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