極限の範囲の証明です。お願いします。

質問

問　limf(ｘ)=0　⇒　lim｜f(x)｜=0　を証明せよ。
　　(limはｘ→ａ または　±∞)

安易な問題で恐縮ですが、正直証明の組み立て方やイメージがつきません。この証明を解いてくださる方がいましたら、何卒よろしくお願い致します。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

問題が安易とかいうよりも
あなたの予備知識が不明なのでどうにもこうにも．

あなたが大学生で，εδを履修済みであれば
一言「収束の定義より明らか」です．
＃f -> 0 と |f| ->0 は同値というか。。定義そのもの
＃＃これで意味が分からなかったら
＃＃収束の定義をよく見直してください

あなたが高校生で微積分を習い始めたばかりであるならば，
これを厳密に証明することはできません．
そもそも高校の範囲では極限の定義は厳密にはなされません．

ちなみにf(x)の値で場合わけすると
正負が交互にでてくるような場合に議論が曖昧になります．

====================
まず，高校生であることを前提にしてみます．

まず，Xが点aに「近づく」ということを考えます．
「近づく」というのは「距離が0になっていく」ということです．
二点Xとaの距離とは，絶対値を用いて |X-a| のことです．
ということは
「Xが点aに近づく」ということは
「|X-a| が0に近づく」
ということです．

ここで，a=0，X=f(x)とすると
「f(x)が0に近づく」ということは
「|f(x)| が0に近づく」
ということ．
すなわち，　lim f(x)=0　⇒　lim |f(x)| =0　です．
当然，逆もいえます．
ここで，x -> a，x -> ±∞ には触れてませんが
この大雑把な議論では
f(x)の挙動だけが必要なので触れる必要がありません．

これを大学生風に書き直すと，
x -> a のとき f(x) -> 0 とする．
つまり，
任意の正の数εに対して，ある正の数δが存在して
|x-a| < δ　ならば　|f(x)-0|<ε
このとき，
| |f(x)| - 0 | = | f(x) | = | f(x) - 0 |
であるので
任意の正の数εに対して，ある正の数δが存在して
|x-a| < δ　ならば　| |f(x)| -0|<ε
つまり，
x -> a のとき |f(x)| -> 0 である．

次に，x -> ∞ のとき f(x) -> 0 とする．
つまり，
任意の正の数εにたいして，あるM>0が存在して
x>M ならば　|f(x)-0|<ε
である．以下は x->aのときと同様．

次に，x -> -∞ のとき f(x) -> 0 とする．
つまり，
任意の正の数εにたいして，あるM>0が存在して
x<-M ならば　|f(x)-0|<ε
である．以下は同様．

かなり冗長ですがこんな感じ

お礼

遅くなってすみません。
大変参考になりました。今一度検討し、自分で解けるようにしたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.2

abyss-sym

一般に実数a、bについて、||a|-|b||≦|a-b|が成り立ちます。(三角不等式)
この式から　-(a-b)≦|a|-|b|≦a-b
ここで、a=f(x)、b=０とすると　-f(x)≦|f(x)|≦f(x)
これを利用すればできます。

お礼

三角不等式ですか。確かに極限でおこなったところなので挑戦してみます。ありがとうございます。

回答No.1

2hen6

絶対値の問題は、

絶対値の中身がプラスかマイナスかで場合わけ

がセオリーですから、

f(x)＞０のとき
｜f(x)｜=f(ｘ)

で式が矢印の前と後ろで一緒になるから当然
limf(ｘ)=0　⇒　lim｜f(x)｜=0

f(x)＜０のとき
｜f(x)｜=－f(ｘ)
で、
lim－f(ｘ)　　を

lim(－１)×limf(ｘ)　と考えて、limf(ｘ)=０より

lim(－１)×０＝０　　
(－１×０は不定形ではないのでこうゆうことができる)

よって

limf(ｘ)=0　⇒　lim｜f(x)｜=0

でいいんじゃないでしょうか。

(limはｘ→ａ または　±∞)をまったく使っていないので気になりますが、これはようするに全範囲(全てのｘについての極限)のことだと思うので、気にしません(笑)

お礼

遅くなってすみません。
そうですね、場合わけによって整理して考えてみます。
ありがとうございます。