累次極限について

質問

多くのサイトを拝見したところ、累次極限の性質として、
「lim_{(x,y) → (a,b)} f(x,y) = A 　　　　(1)が存在するとき、二つの累次極限

lim_{x → a} { lim_{y → b} f(x,y) },　　　　　(2)
lim_{y → b} { lim_{x → a} f(x,y) }　　　　　(3)

が存在し、ともにAである」・・・・・(☆)
というのがありましたが、私が今読んでるワンポイント双書では、３つの極限が存在したとき３つのあたいが等しいと書いてあり、また、xy=0のときf(x,y)=（x）sin（1/y）+（y）sin（1/x）でxy≠０のときf(x,y)=0とすると(1)は存在しますが(2)と(3)は存在しません。

一体どっちが正しいのでしょうか。
（☆）の証明も読んでも理解できないので質問しました。
できれば正しい方のとてもわかりやすい証明を解説してくれると非常にありがたいです。

よろしくお願いします！

回答No.2

akinomyoga · ベストアンサー

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> |x-a|<δ⇒∃y (d((x,y),(a,b)) <δ1 ∧ |y-b|<δ2)
> がよくわかりません。なぜここに存在の記号が....

「P(x)→(∃y Q(x,y))」の構造です。「P(x) ならば (Q(x,y) を満たす y が存在する)」という事です。
例えば 「x が人ならば、x には親 y がいる」は
Man(x): 「x が人である」
Parent(x,y): 「y は x の親である」
として Man(x)→∃y Parent(x,y) と表現できます。

★
> あとこの式を見ると左はxについてですが、右はxとyについての式になっています

(1) 先ず、右は x だけについての式です。

∃y Q(x,y)　は y を束縛しているので、右辺は x だけについての命題です。つまり、具体的な x を外部から与えられた時に真偽を判断する対象になります。「y が存在するかしないか」が判断の対象なので、具体的な y を外部から与える必要はありません(というより、与えられません)。

例えば ∃y Parent(x,y) は「x の親となる様な y が存在するか」という事ですが、これはつまり「x に親がいるか」という事であり、外部から y を指定する余地はありません。つまり、x だけについての命題です。

(2) 更に、今回は違いますが「左辺がxについてで、右辺がxとyについての式」は可能です。

例えば、「|x-a|<δ⇒|f(x)-A|<ε」は左辺は x,a,δ についての式で右辺は x,A,ε についての式です。別に左右の自由変項 (外部から指定しなければならない文字) が一致していなければならないという必然性はないのです。

★
> δ:=min{δ1,δ2} とすれば、
> (6) |x-a|<δ⇒∃y (d((x,y),(a,b)) <δ1 ∧ |y-b|<δ2)
の部分をもっと詳しく書くとすれば、

δ:=min{δ1,δ2} とすれば、
(H1) |x-a|<δ
(H2) |y-b|<δ
(6a) d((x,y),(a,b)) = max{ |x-a|, |y-b| }
(6b) d((x,y),(a,b)) < δ
(6c) d((x,y),(a,b)) ≦ δ1
(6d) |y-b| <δ
(6e) |y-b| ≦δ2
(6f) d((x,y),(a,b)) ≦ δ1∧|y-b| ≦δ2 (6c, 6eより)
(6g) ∃y ( d((x,y),(a,b)) ≦ δ1∧|y-b| ≦δ2) (H2消去)
(6h) |x-a|<δ⇒∃y ( d((x,y),(a,b)) ≦ δ1∧|y-b| ≦δ2) (H1消去)

後、別に証明の仕方は一通りではないので、上の方法にこだわる必要はありません。アイディアは呈示しましたので、納得できなければ御自分で証明してみては如何でしょうか。

お礼

遅くなって済みません。いろいろ考えていました....

大変詳しく、非常に参考になりました！

ありがとうございます！

回答No.1

akinomyoga

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1196968856 を御覧になりましたか? その頁の「ただし、{ }内の極限は存在するとする」という部分を見逃していらっしゃる様に思います。

つまり、正しいのは、
P1「3つの極限値
lim_{(x,y)→(a,b)} f(x,y) (1),
lim_{y→b} f(x,y) (4),
lim_{x→a} f(x,y) (5)
が存在する時、
lim_{x→a} lim_{y→b} f(x,y) (2),
lim_{y→b} lim_{x→a} f(x,y) (3)
が存在して lim_{(x,y)→(a,b)} f(x,y) に一致する」です。ワンポイント双書にある(?)という「3つの極限値(1),(2),(3)が存在した時3つの値が等しい」というのは、上記命題P1の系として得られます。

所で、
f(x,y) = {
x sin(1/y) + y sin(1/x) (xy ≠ 0 の時),
0 (xy = 0 の時) }
の場合には、(1) は存在するが (4), (5) が存在しないので、命題P1の前提を満たせていません。つまり、P1 はこの場合 (2), (3) が存在するかどうかについては言及しません。

【証明の考え方】
取り敢えず (lim... を何度も書くのは面倒なので) A, B(x) を定義します。
(1a) A := lim_{(x,y)→(a,b)} f(x,y), (前提)
(4a) B(x) := lim_{y→b} f(x,y), (前提)
(2a) lim_{x→a} B(x) = A (示したい物)

それぞれの具体的意味(定義)は、
(1b) ∀ε1>0, ∃δ1>0, d((x,y),(a,b)) < δ1 ⇒|f(x,y)-A|<ε1
(4b) ∀ε2>0, ∃δ2>0, |y-b|<δ2 ⇒|f(x,y)-B(x)|<ε2
(2b) ∀ε>0, ∃δ>0, |x-a|<δ ⇒|B(x)-A|<ε
になります。距離 d(,) は適当に d((x,y),(a,b)) = max{|x-a|, |y-a|} 等とする事にします(他の距離を使っても大体同じ)。

従って、★(2a) を示すには、結局 |B(x)-A|<εを示せば良い訳です。★
特に、|B(x)-A| ≦ |B(x)-f(x,y)| + |f(x,y)-A| < ε1+ε2 ≦ εを目指します。

【証明】
(1a) A := lim_{(x,y)→(a,b)} f(x,y),
(4a) B(x) := lim_{y→b} f(x,y),
(1b) ∀ε1>0, ∃δ1>0, d((x,y),(a,b)) < δ1 ⇒|f(x,y)-A|<ε1 (1aより)
(4b) ∀ε2>0, ∃δ2>0, |y-b|<δ2 ⇒|f(x,y)-B(x)|<ε2 (4aより)

∀ε(>0)に対し、

ε1 = ε2 =ε/2 などと選ぶ。(1b), (4b) から δ1, δ2 が存在して、
(1c) d((x,y),(a,b)) < δ1 ⇒|f(x,y)-A|<ε1
(4c) |y-b|<δ2 ⇒|f(x,y)-B(x)|<ε2

ここで、(d((x,y),(a,b)) <δ1 ∧ |y-b|<δ2) の時、
|B(x)-A| ≦ |B(x)-f(x,y)| + |f(x,y)-A| < ε1+ε2 = εになる。つまり、
(2d) (d((x,y),(a,b)) <δ1 ∧ |y-b|<δ2) ⇒ |B(x)-A|<ε

δ:=min{δ1,δ2} とすれば、
(6) |x-a|<δ⇒∃y (d((x,y),(a,b)) <δ1 ∧ |y-b|<δ2)
なので、
(2c) |x-a|<δ⇒|B(x)-A|<ε(2d, 6 より)

(2b) ∀ε>0, ∃δ>0, |x-a|<δ ⇒|B(x)-A|<ε (2c より)
(2a) lim_{x→a} B(x) = A (2bより)■

補足

|x-a|<δ⇒∃y (d((x,y),(a,b)) <δ1 ∧ |y-b|<δ2)
がよくわかりません。なぜここに存在の記号が....
あとこの式を見ると左はxについてですが、右はxとyについての式になっていますが、これはどう理解すればいいのでしょうか。

お願いします！