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大学の数学（極限）
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まず，(x,y)→(0,0)⇔√(x^2+y^2)→0だから|x|≦√(x^2+y^2),|y|≦√(x^2+y^2)よりx→0かつy→0です． また，sinx→x(x→0)です． よって， sinπxsinπｙ/(sin^2πx+sin^2πy)→π^2xy/{π^2(x^2+y^2)}=xy/(x^2+y^2) x=ρcosθ,y=ρsinθとおくと，(x,y)→(0,0)⇔ρ→0で xy/(x^2+y^2)=ρ^2cosθsinθ/ρ^2=cosθsinθ=(1/2)sin2θ これはθの値により0だったり1/2だったりして一定の値に近づかないから，極限は存在しません．
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- info22_
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y軸に沿って(0,0)に近づけると lim y→０{lim x→０（ sin(πx)sin(πｙ））/(sin^2(πx)+sin~2(πy))} =lim y→０（ ０sin(πｙ））/(０+sin~2(πy)) =lim y→０（０/(０+sin~2(πy)) =lim y→０ ０ =０ y=xの直線に沿って(0,0)に近づけると lim y→０{lim x→y（ sin(πx)sin(πｙ））/(sin^2(πx)+sin~2(πy))} =lim y→０（sin^2(πｙ））/(2sin~2(πy)) =lim y→０ 1/2 =1/2 (x,y)→(0,0)の極限の取り方により極限値が異なるので 極限値は存在しない。
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