極限値の解法と答え|数学の宿題

このQ&Aのポイント
  • 極限値を求める数学の宿題について解法と答えを紹介します。
  • 宿題の問題文と解き方を説明し、各問題の極限値の答えをまとめました。
  • 適切な解法を使って極限値を求め、存在しない場合は存在しないと答えます。
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数学の宿題(極限値)です。

以下の問題なのですが、どのような答えになるのでしょうか。解き方を教えていただけると助かります。 極限値を求めよ。ただし存在しないときは存在しないと答えること。 (1) lim(x,y)→(0,0)    x^2y/(x^2+y^2) (2) lim(x,y)→(0,0)  (3x^2+2y^2)/(2x^2+3y^2) (3) lim(x,y)→(0,0)  (3x^2 - x^2y + 3y^2)/(2x^2+3y^3 + 2y^2) (4) lim(x,y)→(0,0)   xlog(x^2 + y^2) (5) lim(x,y)→(0,0)   ( sin(2x^2 + 2y^2) ) / ( tan(x^2 + y^2) )

質問者が選んだベストアンサー

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  • satuchiko
  • ベストアンサー率41% (17/41)
回答No.2

(3)x=rcos@,y=rsin@とおきます。 @はシータとおもってください。つまり、極座標変換するわけですね。 すると、 与式=(3-rsin@(cos@)^2)/(2+3r(sin@)^3) となります。0≦sin@≦1ですから、 |与式|≦|3-rsin@(cos@)^2|/2 |与式|≦|3-rsin@+r(sin@)^3|/2 |与式|≦|3-r|/2 これで上から抑えることができました。 今度は下からです。 |与式|≧|3-r|/|2-3r| と言えます。 (分母を小さくするにはsin@(cos@)^2を最大値1にし、分子の(sin@)^3を最小値-1にする) (x,y)→(0,0)すなわりr→0とすれば、上からも下からも3/2となるので、 極限は3/2です。 (4)同様に、x=rcos@,y=rsin@とおきます。 すると、 0≦|与式|=|2rcos@logr|≦2|rlogr| となります。r→0のとき、rlogr→0ですから、はさみうちの原理から極限は0です。 (5)x=rcos@,y=rsin@とおくと、 与式=2(cosr^2)^2→2(r→0) となるので、極限は2です。はさみうちなどは使っていません。

alltime123
質問者

お礼

ありがとうございました。たすかりました。

その他の回答 (7)

noname#171582
noname#171582
回答No.8

(5) f(x、y)=sin(2x^2+2y^2)/tan(x^2+y^2) のグラフ

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alltime123
質問者

お礼

ありがとうございました。

noname#171582
noname#171582
回答No.7

(3)式のグラフ

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alltime123
質問者

お礼

ありがとうございました。

noname#171582
noname#171582
回答No.6

(2)式のグラフ

alltime123
質問者

お礼

ありがとうございました。

noname#171582
noname#171582
回答No.5

(1)のグラフ

alltime123
質問者

お礼

ありがとうございました。

  • satuchiko
  • ベストアンサー率41% (17/41)
回答No.4

ごめんなさい。また間違ってますね。 (1)は極座標でおくと、 与式=rcos@sin@=rsin2@/2 |与式|<|r/2| となり、答えはゼロです。

alltime123
質問者

お礼

ありがとうございました。

  • satuchiko
  • ベストアンサー率41% (17/41)
回答No.3

ごめんなさい。間違えました。 (3)のところで、上から抑える場合、 |与式|≦|3-r|/2 ではなく、 |与式|≦|3+r|/2 ですね。

  • satuchiko
  • ベストアンサー率41% (17/41)
回答No.1

間違ってたらごめんなさい。 (1)x=y=tとしてみると、 与式=t/2→0 x=t,y=t^2としてみると、 与式=1/(1+t)→1 となり、近づけ方によって変わるので極限は存在しない (2)もx=t^2,y=tとx=t,y=t^2では極限が違いますね。

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