極限について

質問

次の２つの極限値とその求め方、教えて下さい。

( 1 ) lim( n -> ∞ ) [ 2 ^ n sin { θ / 2 ^ ( n - 1 ) } ]
( 2 ) lim( n -> ∞ ) [ 2 ^ n tan { θ / 2 ^ ( n - 1 ) } ]

ただし、lim( x -> 0 ) ( sin x / x ) = 1 は使えないものとします。なぜなら、この式の証明の中で使われているからです。

よろしくお願いします。

回答No.11

noname#199771

＞#9

あなたの曖昧な問いかけに私は反応するべきで
ありませんでした。

もともとは#3が#2にウソがあるかのような挑発的
な書き込みをしたのを無視しなかった私がいけな
かったのですが。

回答No.10

noname#199771

＞#8

そもそも私に尋ねるのはお門違いですよ。

回答No.9

noname2727

肝心の扇型OABから△OABを除いた部分
の面積がθ->0のとき0に収束する理由につ
いては何も触られていません。

とありますが、

面積比較から、

1＞sinx/x>cosx

が導かれます。

はさみうちの定理から、

lim( x → 0 ) ( sin x / x ) = 1

が成立しますよね？

面積が０に収束することを示す理由はないと思います。

示すにしても、上の式から明らかだと思います。

他にも、面積は連続的に変化するので、x→0のとき面積が０になることからも明らかだと思います。

回答No.8

Tacosan

そこまで高校の教科書ってひどかったっけ＞#7.

sin θ (> 0) で割って... というのは普通にありそうだけど, 「扇型OABから△OABを除いた部分の面積と△OACから扇型OABを除いた部分の面積がθ->0のとき共に0に収束する」なんて書いてある教科書, あるのかなぁ?

回答No.7

noname#199771

＞#6

半径1の円の中心をOとし、円周上の異なる
2点AとBをとります。Aでの円の接線とOBを
通る直線との交点をCとします。
∠AOB=θとします。

△OABの面積は(1/2)sin θです。
扇型OABの面積はπ/(2π/θ)=θ/2です。
△OACの面積は(1/2)tan θです。

△OAB⊂扇型OAB⊂△OAC なので
0<(1/2)sin θ≦θ/2≦(1/2)tan θ
です。

高校の教科書では扇型OABから△OABを
除いた部分の面積と△OACから扇型OAB
を除いた部分の面積がθ->0のとき共に0に
収束するから上の不等式より(1/θ)sin θ->1
としているのが多いはずです。

肝心の扇型OABから△OABを除いた部分
の面積がθ->0のとき0に収束する理由につ
いては何も触られていません。もしその「理由」
が(1/θ)sin θ->1だったとしたら無意味ですし
破綻しています。

質問文がざっくりしていてはっきりしませんが
わざわざ但し書きをしているところをみると質問
者はこのことに気づいていて循環論法にならな
い理由を求めて質問した可能性があります。

回答No.6

noname2727

No.５さん

どこが循環論法になっているのでしょうか？

少しわかりづらいのでご指摘いただければ幸いです。

回答No.5

noname#199771

＞#3,#4

三角関数を導入する場合は何を定義とするのか
はっきりさせておかないとすぐに循環論法になって
しまいます。

角度θの扇型をそれに含まれる三角形の面積と
それを含む三角形の面積とで上下から評価する
方法ではsin x/x->1(x->0)そのものが使われて
いて循環論法になります。

循環論法を回避するにはsinやcosをべき級数
展開で定義する方法を使う#2の方法が明快です。

回答No.4

noname2727

lim( x → 0 ) ( sin x / x ) = 1は三角形と扇形の面積比較から導かれる一般的な式です。

ここでなぜ使ってはいけないのですか？

lim( x → 0 ) ( sin x / x ) = 1を証明するのに（１）（２）の結果を利用するのですか？
もしそうでないなら、上の式は利用しても大丈夫です。

お礼

わかりにくい文章でスミマセンでした。

（１）（２）の結果を利用して「lim( x → 0 ) ( sin x / x ) = 1」を証明しようとしている文章を発見したのです。で、その文章では（１）（２）の極限値が当然のことのように同じ値になるという流れだったのですが、極限値を計算できなかった私には、それが当然のこととは言えなかったので、質問した次第です。

回答No.3

rnakamra

> ただし、lim( x -> 0 ) ( sin x / x ) = 1 は使えないものとします。なぜなら、この式の証明の中で使われているからです。

と書かれているのですからべき級数展開などは使うべきではないのでしょうね。

これはちょっと作図して考えましょう。

OA=OB=1, ∠AOB=θ　となる扇形を書きます。

弧ABを2^(n-2)個 ( 2^(n-1)個ではないことに注意)に等分割してみましょう。
Aの隣の点をCとします。線分ACの長さをθ,nを用いてあらわしてみましょう。
ACの中点をDとすると∠AOD=∠COD=(1/2)*∠AOC={θ/2^(n-2)}/2=θ/2^(n-1) となります。
(ここでθ/2^(n-1)という角度を作るために2^(n-2)個に分割したのです。)
AC=AD+CD=2*AD=2*1*sin{θ/2^(n-1)}=2sin{θ/2^(n-1)}
となります。
この弦ACと同じ長さの弦が2^(n-2)個ありますので、AB間の弦の長さの総延長Lnは
Ln=2sin{θ/2^(n-1)}*2^(n-2)=2^(n-1) * sin{θ/2^(n-1)}
となります。
このLnはnを大きくしていくと弧ABの長さに近づいていくでしょう。
この関係から(1)を求めることができます。

(2)は(1)の結果を使い簡単に求めることができるのですがあえて同じような方法を使うのであれば、弦ACではなく、A,Cにおける接線を考えて見ればよいでしょう。二つの接線の交点をEとするとAEの長さがtan{θ/2^(n-1)}であらわされるはずです。

お礼

詳しいご説明、ありがとうございました。結局、（１）は Ln が弦の長さ θ に収束するため 2 θ　ということでしょうか。

回答No.2

noname#199771

#1ですが差し替えお願いします。

---------------------------
(1)sinのべき級数展開を使い、
|2項目以降|≦{2^(-2n+3)}(e^|θ|)
を言います。

(2)(1)より明らか。

お礼

ありがとうございました。土日休みだったので、お礼が今日になってしまいました。スミマセン。。。キャッ！！職場からの投稿がバレバレ *o*;

べき級数展開すると、すごく複雑になりそうで、先にお礼することにしました。これからがんばって計算します！